# 1435             1 janvier 2015

L’année 2015

En ce premier janvier 2015, je vous propose une forme de récréations qui fut très populaire dans la seconde moitié du 20^e siècle. Il s’agit d’agencer les chiffres du millésime au moyen d’opérations pour obtenir le plus grand nombre de résultats.

Au siècle dernier, le 1 apparaissait toujours. On pouvait s’en servir pour multiplier ou comme exposant. Du 9, on pouvait extraire la racine carrée. Voici des exemples pour 1978 :

17 × √9 – 8 = 43

(7 + 8)√9 – 1 = 44

(7 + 8)√9 × 1 = 45

7 × 8 – 1 – 9 = 46

(7 × 8 – 9)1 = 47

(7 × 8 + 1 – 9 = 48

(8 – 1)^9-7 = 49

Au 21^e siècle, le 1 et le 9 n’apparaissent pas automatiquement. C’est le 2 et le 0 qui les remplacent. On peut additionner le 0, mais ce n’est pas très élégant. On peut lui faire jouer le rôle d’exposant. Dans ce cas, on obtient 1 : ce qui n’est pas très utile lorsque les résultats sont relativement grands. Par exemple, en 2001, les possibilités étaient très réduites.

Que peut-on obtenir avec 2015 ? Voici quelques cas où les résultats varient de 0 à 10 :

10 – 2 × 5 = 0

2 – 1 × 5⁰ = 1

5 – 1 – 2 + 0 = 2

5¹ – 2 + 0 = 3

5 + 1 – 2 + 0 = 4

5 + 1 – 2⁰ = 5

(5 + 2⁰)1 = 6

(2 + 5)1 + 0 = 7

2 + 5 + 1 + 0 = 8

2 × 5 – 1 + 0 = 9

(2 × 5)1 + 0 = 10

Il est relativement facile de trouver des petits résultats. Pour des résultats supérieurs à 10, on peut utiliser 10, 12, 15, 20, 21, 25, 50, 51, 52.

Si ça vous tente, recherchez d’autres résultats.

# 1390             23 décembre 2014

Problèmes surprenants (2)

Louis Bentz dans ses Premiers éléments d'arithmétique, suivis de problèmes raisonnés en forme d'anecdotes présente des problèmes originaux à l’intention des élèves de 9 à 12 ans. Le manuel scolaire fut publié à Paris en 1835.

Dans ce problème, la mère de Joseph le met en garde contre les fréquentations de personnages douteux, comme des trompeurs.

« Joseph, petit garçon très dissipé, vint un jour en pleurant raconter à sa mère sa triste aventure. Maman, dit-il, là-bas, sur la place du Marché, j'ai joué aux jetons avec ce méchant trompeur de Louis. À force de tromper, il m'a presque tout gagné, et quand je lui ai dit qu'il était un trompeur, il m'a encore donné des coups.

« Je m'y attendais bien, répondit la mère ; je te connais un peu enclin à la querelle. Pourquoi l'appelles-tu trompeur et méchant ? Est-ce que tu vaux mieux que lui ? »

« Oh ! oui, maman ; je ne trompe jamais. » « Pourquoi recherches-tu donc la société d'un trompeur ? Pour toute consolation je te donne cette leçon que tu seras obligé de me répéter tous les jours :

Il faut bien réfléchir avec qui l'on se lie.
Car la société des hommes vicieux
Nous les fait imiter, nous perd, nous humilie.
Et l'ami du méchant n'est jamais vertueux.

« Mais, dis-moi, combien de jetons as-tu donc perdus ? » « Quand j'ai commencé à jouer, j'en avais 35 ; et puis j'en ai acheté autant pour six sous et j'en ai eu huit pour un sou. Maintenant j'en ai encore dix-sept. »

Combien de jetons a-t-il perdus ? (p. 123)

Joseph a perdu 61 jetons.

# 1350             15 décembre 2014

Carrés magiques d’ordre 5

Il est possible de construire un carré magique 5 × 5 sans faire de calculs. La somme dans chaque ligne, chaque colonne et chaque diagonale sera 65 en y écrivant les entiers de 1 à 25. Voici comment on peut procéder :

• On place 1 dans la case centrale de la première ligne.

• Par la suite, on avance en diagonale de gauche à droite.

• Le 2 se retrouve à l’extérieur de la grille. On le ramène dans la même colonne sur la ligne du bas.

• On continue à avancer en diagonale.

• Le 4 se retrouve à l’extérieur de la grille. On le ramène dans la même ligne dans la première colonne.

• On continue à avancer en diagonale. Le 6 ne peut pas être placé selon cette règle. On l’écrit sous le 5.

• On continue selon les mêmes règles.

• On place le 11 sous le 10.

• On continue et on place le 16 sous le 15.

• On suit les mêmes règles jusqu’à 25.

Le carré obtenu est :

On efface les deux bordures extérieures. En additionnant par rangée, on trouve que la somme est bien 65 dans chacune.

Vous pouvez suivre la même démarche avec des suites arithmétiques comme 2, 3, 4, 5, etc., 3, 4, 5, 6, etc., 2, 4, 6, 8, etc., 3, 6, 9, 12, etc. Vous aurez toujours un carré magique, mais la somme sera différente.

Vous pouvez appliquer cette méthode à des carrés magiques d’ordre impair comme 7 × 7, 9 × 9, etc. Ça marche toujours.

# 1315             8 décembre 2014

Critique de Récréomath

Le 17 mars 2013, Anik Routhier a fait une critique de mon site Récréomath dans le site web Carrefour Éducation. Je me permets de publier ses propos.

« Ce site permet de développer des habiletés en mathématiques par le biais d’une variété de problèmes récréatifs : défis, jeux, jeux-questionnaires, etc. Une banque d’outils mathématiques, comprenant un dictionnaire, un lexique et des références, complète le tout.

Description

L’auteur de ce site, Charles-É. Jean, un passionné de mathématiques, suggère une banque de problèmes récréatifs. Au programme, défis, jeux de société, jeux-questionnaires, détente, récréations cryptarithmiques, logiques, magiques et numériques. Ces problèmes sont reliés à différents domaines mathématiques et font appel au raisonnement, à la déduction et à l’application de diverses stratégies. Chaque section comporte deux séries dont les problèmes de l’une sont plus faciles que les problèmes de l’autre. De plus, la solution de chaque problème est disponible.

Il offre également une banque d’outils mathématiques contenant des documents visant à augmenter les connaissances mathématiques et à faciliter la résolution de problèmes : aide-mémoire, articles, dictionnaires, lexique et références. Dans ces documents, on trouve la signification des principaux termes reliés à la résolution de problèmes, des articles touchant l’histoire des mathématiques récréatives ou encore une liste de sites ou de livres d’intérêt mathématique.

Soulignons pour terminer que ce site a reçu plusieurs mentions dont celle du GRMS (Groupe des responsables de mathématiques au secondaire) qui l’a qualifié d’excellent site.

Appréciation générale du site

Les 2000 visites par jour confirment que ce site mérite bien les nombreuses mentions reçues et que les internautes ont tout intérêt à tenter de résoudre les multiples problèmes proposés. Ce site contient des passe-temps légers exigeant peu de connaissances mathématiques, mais aussi des problèmes plus complexes qui font appel à des connaissances et stratégies plus variées.

Pistes pédagogiques

Les enseignants du domaine de la mathématique pourront y puiser de nombreux problèmes qui amèneront leurs élèves à développer leurs compétences mathématiques. Ce site ne comporte pas d'interactivité. L'enseignant peut cependant utiliser le TBI (tableau blanc interactif) pour afficher un problème, en discuter collectivement les pistes de solution et même amener les élèves à y présenter leur démarche. » (Fin du texte cité)

# 1280             1 décembre 2014

Problèmes en rimes

Pierre-Léon Chavignaud a écrit une arithmétique unique. Son livre Nouvelle arithmétique publié à Lyon en 1847 est en vers. Vous avez bien lu, le tout est rempli de rimes. Voici deux problèmes :

Problème 1

Une dame économe a trente belles terres,

Qu'elle cherche à placer en des mains étrangères ;

Et pour se libérer envers ses créanciers,

Et ne point effrayer d'avides héritiers,

Elle expose à la fois la moins considérable,

À la condition qui parait tolérable,

De n'exiger d'abord qu'un sou du premier bien,

Puis deux sous du second, jusqu'au trentième enfin,

Et le doublant toujours, suivant l'offre qui charme.

Quelle est la somme ici qui revient à la dame ?

Solution

Il faut pour obtenir le prix en question,

Chercher le dernier terme et l'abréviation

Dit de déterminer, d'après notre assurance,

Le vingt-neuvième acquis en prenant la puissance

De notre exposant deux : et la multipliant
Par deux, terme second : le nombre résultant
En en retranchant un, carré du premier terme,
En divisant enfin le total qu'il renferme
Par l'excédant cherché, du premier au second,
Qui dans le cas cité ne change rien au fond,
Puisque c'est l'unité, nous montre que la somme
Que notre dame exige, accablerait son homme. (p. 87)

La somme est de 536 870 911 sous.

Problème 2

Jacob avait, dit-on, soixante-dix enfants
En entrant en Égypte, et ce père en vingt ans
Vit le nombre augmenter d'un chiffre toujours même ;
Dix époques après, la puissance suprême,
Le rendit protecteur, comme il l'avait promis,
De trente-cinq mille huit cent quarante fils.
De combien sa famille, après cette donnée,
À chaque époque fixe était-elle augmentée ?  

Solution

Pour trouver l'exposant, un principe certain
Nous dit de diviser le dernier terme enfin
Par le premier connu ; le nombre qui résulte
Cinq cent douze fait voir que la puissance occulte
S'exprime ici par huit dont la racine est deux.
Ainsi, tous les vingt ans, Jacob le bienheureux

Vit doubler sa famille ; et sa haute puissance
Des ennemis vaincus cimenta l'alliance. (p. 88)

Idéalement, vous devez avoir compris que la famille était augmentée du double.

# 1245             24 novembre 2014

Évasions calculées

En 1982, j’ai publié Évasions calculées chez Modulo Éditeur. Ce livre contenait 80 problèmes. Dans la revue Envol du GRMS d’octobre 1983, Jean Saumier, de la Commission scolaire Chomedey-de-Laval, publiait une critique. La voici :

« Vous savez le genre : « Le valet de cœur est au-dessous du neuf de carreau dans la même rangée verticale mais ne lui est pas voisin. » … Ce n’est pas de ma faute, j’aime ça des problèmes simples, pas trop compliqués mais qui me font chercher un peu, qui me donnent une évasion. Surtout si je puis utiliser ces problèmes dans l’esprit du nouveau programme comme exercice de résolution de problèmes ou comme pratique d’application de la logique en cinquième secondaire ! Des problèmes amusants sur le calendrier, le hasard, les timbres, les emballages, les fleurs, les dés, l’argent, les voyages, les achats, les âges, les dominos, etc., le tout enrichi d’une gerbe de souvenirs : une quinzaine d’exemples donnés à divers examens du Québec, de 1900 à 1906.

Je m’étais proposé de lire rapidement le livre sans prendre le temps de résoudre … pas capable ; je me suis pris un papier et un crayon et j’ai goûté mes évasions.

Les mises en situations sont adaptées et elles sont plaisantes. Quelques détails historiques viennent enrichir certains problèmes en même temps qu’ils ajoutent un côté alléchant : intéressant de savoir ce que l’Europe faisait avec les jeux de cartes au XV^e siècle, puis avec les dominos en 1791. Les références à Dollard au Long-Sault en 1660 et à l’adolescente de 14 ans, Madeleine de Verchères en 1692, montrent comment l’auteur a su présenter d’une façon agréable des problèmes qui, autrement, auraient bien moins de saveur. Quant à Trudeau, Lévesque et la traversée de la Constitution, vous conviendrez que c’est plus hot line que l’histoire du fermier avec sa chèvre, son chou et le loup. En effet, certains problèmes sont classiques, mais tellement bien présentés qu’ils paraissent nouveaux.

Vous connaissez Charles-É. Jean. Il est l’auteur de nombreux jeux et a publié plusieurs ouvrages ludiques. Il a contribué régulièrement à des séries d’articles dans notre bulletin du GRMS.

Mais, permettez-moi de finir par un reproche. Il s’adresse autant à la maison Modulo Éditeur qu’à Charles-Édouard : pourquoi ne pas avoir inscrit un gros I sur la couverture du livre ? Les lecteurs, ils en veulent d’autres Évasions calculées ! »  

Consultez ce livre dans Récréomath.

# 1210             17 novembre 2014

Arithmétique originale

Pierre-Léon Chavignaud a écrit une arithmétique unique en son genre. Son livre Nouvelle arithmétique publié à Lyon en 1847 est en vers. Voici l’introduction :

« Suspends, ami lecteur, la mordante critique,

Je vais écrire en vers la docte Arithmétique :

J'invoque d'Apollon les grâces et la voix,

Afin de t'expliquer ses immuables lois.

Mon but est de t'instruire, et mes sages pensées,

Du méchant braveront les pointes émoussées.

Il faut que la science attache ici tes pas ;

Apprends à calculer et tu t'enrichiras :

À l'homme industrieux, elle est indispensable ;

Je vais l'orner de fleurs pour la lui rendre aimable.

Cet aride sujet, difficile à traiter,

Dans mon rapide essor ne saurait m'arrêter :

Je n'ai qu'un seul désir, en suivant ma carrière,

C'est de me rendre utile, et je suis sûr de plaire.

J'arrache en mon chemin chaque arbuste épineux ;

J'aplanis du savoir les sentiers tortueux ;

De l'humble poésie empruntant la figure,

Je fertilise un champ avide de culture ;

Et, grâce à ses attraits, l'âpre stérilité,

Prend un aspect riant sur un sol enchanté. »

Bravo, si vous avez lu ce texte jusqu’à la fin.  Le problème ci-après met en scène un maquignon qui vend son cheval dont les fers ont 24 clous. Il veut 2 centimes pour le premier clou, 4 pour le deuxième, 8 pour le troisième, ainsi de suite en doublant pour chaque clou. Le premier paragraphe donne l’énoncé et le deuxième la solution.

« Un maquignon consent à vendre son cheval,

D'après un marché fait qui semble original :

Il ne veut qu'un centime, en suivant son système,

Du premier clou doublé jusqu'au vingt-quatrième ;

Pour se défaire enfin de ce coursier mignon,

Quel prix doit-on donner à l'adroit maquignon ?

Sur le nombre des clous puisque le prix se forme,
À la progression il doit être conforme,
Or, pour le calculer, un principe certain
Dit de doubler les clous et jusques à la fin ;
Et puis d'élever deux, en cette circonstance,
À la vingt-troisième et dernière puissance ;
Et le total acquis, fait voir en terminant
Que le prix du cheval serait exorbitant. » (p. 86)

Le prix du cheval est de 83 886 francs 8 centimes.

# 1170             9 novembre 2014

Le carré de Dürer

De temps à autre, je reçois le même diaporama sur le carré de Dürer. Je le relis toujours avec plaisir. On trouve ce carré sur la gravure Melencolia de l'artiste allemand Albrecht Dürer.

On pense que c’est l’artiste qui a composé ce carré magique. Il semble plutôt que cette figure provenait d’Asie car, à cette époque, on connaissait très peu les carrés magiques en Europe occidentale. L’intérêt de cette figure, c’est qu’on y retrouve de nombreuses propriétés dans lesquelles la somme de quatre nombres est 34. Toutefois, l’ingéniosité de l’artiste a été de s’en servir pour inscrire la date de réalisation de son œuvre, soit 1514 sur la quatrième ligne. Voici ce carré magique :

C’est un carré magique normal en ce sens qu’il est composé des nombres de 1 à 16 et que, entre autres, la somme des nombres dans chaque rangée horizontale, verticale et diagonale est 34. D’une façon fantaisiste, on pourrait dire que l’initiale de carré est C, la lettre de rang 3 de l’alphabet et que l’initiale de Dürer est D, la lettre de rang 4 : ce qui donne 34 quand on réunit les deux chiffres.

Dans ce carré, en lisant les nombres de 1 à 16 à la suite, on observe une régularité : 1 et 4 apparaissent dans chaque coin inférieur et 2 et 3 apparaissent au centre sur la ligne supérieure. Chaque groupe de 4 nombres apparaît selon le même schéma si bien qu’on retrouve chaque nombre d’un quadruplet dans une colonne différente et dans les diagonales.

Je n’énumère pas toutes les propriétés de ce carré, car on peut les trouver abondamment sur internet. Il faut mentionner que 47 autres carrés magiques d’ordre 4 composés des nombres de 1 à 16 ont exactement les mêmes propriétés.

Voici un carré magique que j’ai imaginé où on peut lire 2014 sur la dernière ligne. Ce carré a sensiblement les mêmes propriétés que celui de Dürer, sauf que la somme de 4 nombres est 74 et qu’on y retrouve les nombres de 11 à 26.  

# 1120             29 octobre 2014

Arithmétique qui rime

Pierre-Léon Chavignaud a écrit une arithmétique unique. Son livre Nouvelle arithmétique publié à Lyon en 1847 est en vers. Vous avez bien lu, le tout est rempli de rimes sauf la préface qui est en prose. Dans celle-ci, l’auteur fait des affirmations surprenantes, en particulier quand il parle des jeunes filles. Voici cette préface :

« Convaincu par vingt ans d'expérience qu'une science est d'autant plus facile qu'elle est claire et simple, je l'ai, sans en dénaturer les principes, ornée des charmes de la poésie. C'est un sûr moyen d'abréger l'étude de la première partie des mathématiques, qui est, comme l'on sait, indispensable à tous.

Que de jeunes gens rebutés par les difficultés, me sauront gré de leur avoir rendu agréable une science abstraite, dont l'aridité n'est souvent propre qu'à leur inspirer du dégoût !

L'entreprise est hardie, je le sais ; mais c'est moins pour surmonter un obstacle que personne n'a osé franchir jusqu'à ce jour, que pour rendre service à la société, que j'ai voulu traiter ce sujet. La poésie est le levier puissant de la mnémotechnie, et avec son aide, les principes de l'arithmétique se graveront d'une manière prompte, agréable et ineffaçable dans l'esprit de ceux qui daigneront adopter l'ouvrage que je destine à la jeunesse.

Un critique aurait mauvaise grâce de censurer mes vers ; et, avant d'entreprendre ce rôle, je l'engage à s'exercer à faire quelques rimes sur les nombres. Je suis loin d'approcher de la sublime éloquence de Corneille, de la douceur ravissante de Racine ; mais mes vers, eu égard au sujet, ont assez d'harmonie pour attacher le lecteur, auquel je veux être utile avant que de chercher à plaire.

Les jeunes demoiselles pourront désormais apprendre cette science, qui avait peu d'attraits pour elles. Appelées à partager les travaux de ceux à qui elles unissent leurs destinées, elles saisiront sans difficulté les principes de l'arithmétique, qu'il est urgent de bien connaître, quand on veut se livrer à des opérations commerciales. » (Fin de la préface)

Au début de son traité, Chavignaud explique en alexandrins les principales définitions sur lesquelles s’appuie l’arithmétique. Dans l’extrait suivant, – il est probable que vous ne le lirez pas jusqu’à la fin –  l’auteur explique comment se compose un nombre et termine en distinguant les nombres concrets et abstraits.

« L'utile Arithmétique, en ses peintures sombres,

Nous fait connaître à fond la science des nombres ;

Dans ses divers rapports les fait envisager,

Assembler, retrancher, composer, partager,

Donne des moyens sûrs à l'homme qui s'exerce,

Et grave en son esprit les règles du commerce.

L'unité, terme clair, tient lieu de fondement :

C'est une quantité prise arbitrairement,

Qui sert à comparer celles de même sorte,

Et s'unissant au tout s'y lie et s'y rapporte.

(…)

Lorsque les unités font un tout régulier,

Le nombre qui l'exprime est alors nombre entier,

S'il est irrégulier, il est fractionnaire ;

Et fraction enfin à ces deux cas contraires.

Trente mille guerriers sont mis hors de combat ;

Une livre et demie est le pain du soldat ;

Trois quarts seraient trop peu pour soutenir sa vie :

Traitez bien les soutiens d'une noble patrie.

Un nombre est dit abstrait et comme tel nommé,

Lorsqu'on n'indique pas ce dont il est formé.

Ainsi trois ou trois fois, dix fois, cent fois et mille,

Sont des nombres abstraits : le calcul en fourmille.

Mais sitôt qu'on énonce et l'espèce et l'objet

Des seules unités, on l'appelle concret ;

Cinquante villageois se rendent à la fête ;

Cent mille écus comptant assurent sa conquête ;

Trois cents mètres de drap, sont des nombres concrets,

Que vous devez toujours distinguer des abstraits. »

# 1090             23 octobre 2014

La Laitière et le Pot au lait

Dans son Traité élémentaire d’arithmétique, L. Jourdain a présenté, en page 165, un problème fort original. Le manuel scolaire à l’intention des lycéens fut publié à Paris en 1863.

Ceux qui connaissent la fable de Jean de la Fontaine ne seront pas surpris de voir défiler le scénario ; mais ils seront surpris d’y voir se succéder des tas de données numériques qui finalement n’ont pas à être considérées dans la résolution du problème. Il faut tenir compte uniquement des données du début et de la fin. Voici le problème à gauche et la fable originale à droite :

# 1065             18 octobre 2014

Calculatrice renversée

L’écran d’une calculatrice ne comporte que des chiffres. On peut toutefois y voir des lettres en tournant l’appareil de 180 degrés. Par exemple, si on fait 75 427 × 50, on obtient 3 771 350 : ce qui correspond à OSEILLE en lettres.

Sauf le 2 et le 6, les autres chiffres qui apparaissent au tableau d’affichage peuvent être renversés et deviennent des lettres. Le tableau suivant indique la correspondance.

Il existe, en français, plus d’une centaine de mots qui proviennent de nombres dont les chiffres sont renversés. La liste qui suit contient 164 mots de huit lettres et moins. Même si plusieurs mots acceptent un S à la fin, il n’en est pas fait mention. On remarquera également qu’on a inclus des noms propres.

Résolvez maintenant les deux problèmes suivants avec votre calculatrice ; puis renversez l’appareil.

Problème 1. Lisez cette phrase en faisant les opérations indiquées.

Problème 2. Un habitant d’un petit village travaille 311 jours par année à raison de sept heures par jour. Il reçoit 13 $ l’heure. Il a gagné dans une loterie 19 fois ce montant.

Quel est le nom de cet habitant, d’après son gain à la loterie ?

Voici les deux solutions :

1. SOIS BELLE ÉLISE, HISSE LE SOLEIL.

2. On fait : 311 × 7 × 13 × 19 = 537 719. D’où, le nom est GILLES.

# 1020             9 octobre 2014

Étendue du vocabulaire

Vous voulez connaître le nombre de mots dont vous connaissez le sens. Je vous présente une méthode pour établir ce nombre.

• Prenez un dictionnaire et vérifiez le nombre de mots qu’il contient.

• Établissez le nombre de pages où sont définis les mots communs.

• Choisissez au hasard dix nombres dans l’intervalle de la pagination.

• Pour chacune des pages choisies, comptez le nombre de mots définis.

• À chacune des pages, lisez les mots définis et faites une marque quand vous connaissez le sens du mot. Faites le tout d'une façon honnête. Lorsque vous hésitez, considérez que c'est un mot inconnu.

• Pour chaque page, comptez le nombre de mots connus.

• Additionnez le nombre total de mots connus, puis le nombre total de mots définis dans les dix pages.

• Divisez le nombre total de mots connus par le nombre total de mots définis dans les dix pages.

• Multipliez le nombre de mots contenus dans le dictionnaire par le résultat précédent : ce qui vous donne le nombre approximatif de mots que vous connaissez.

Un tableau et une plage de calculs sont donnés pour vous aider.

Total de mots connus divisé par le nombre total de mots définis : _____ ÷ _____ = _______ (A)

Nombre de mots du dictionnaire multiplié par le résultat A : _____ × _____ = ________ (B)

Le résultat B est le nombre approximatif de mots que vous connaissez.

# 975               30 septembre 2014

Problèmes surprenants (1)

Louis Bentz dans ses Premiers éléments d'arithmétique, suivis de problèmes raisonnés en forme d'anecdotes présente des problèmes originaux à l’intention des élèves de 9 à 12 ans. Le livre fut publié à Paris en 1835.

Le premier problème ci-après est écrit en vers comme le début du troisième. Les deux derniers problèmes laissent filtrer des leçons morales pour les enfants à qui l’auteur s’adresse. Les notions mathématiques requises sont élémentaires. Les solutions sont données à la fin.

Les enfants du 21^e siècle auraient-ils la patience de lire en entier les deux derniers problèmes ?

Problème 1

Cinq garçons disaient une fois :

« Allons, amis, jouons aux noix !
Le premier dit en avoir trente,
L'autre qu'il en avait cinquante ;
Le troisième en avait vingt-six ;
Les deux derniers, ensemble dix. »

Combien de noix avaient-ils tous ensemble ? (p. 120)

Problème 2

Pierre et Philippe, deux frères, reçurent de leur père une somme égale d'argent pour leur nouvel an. Pierre, qui était enclin au jeu, perdit tout son argent. Philippe, au contraire, en fit un très bon usage. Quelques jours s'étant passés, le père leur demanda compte de l'emploi qu'ils avaient fait de leur argent, ce qui embarrassa beaucoup Pierre qui fut obligé d'avouer qu'il l'avait perdu au jeu ; mais Philippe dit à son père : « J'ai mis la moitié de mon argent dans ma bourse. J'ai acheté le livre de lectures dont vous nous avez parlé et qui m'a coûté 15 sous. J'ai encore acheté 10 sous une jolie boîte que j'ai donnée à ma petite sœur et j'ai donné les 5 sous qui me restaient à un pauvre homme qui souffrait beaucoup. »

Le père était charmé du bon emploi de l'argent de Philippe et il lui fit aussitôt un beau présent ; mais pour Pierre, il le mit dans une fabrique (usine), où il fut obligé de travailler durement, jusqu'à ce qu'il eût gagné l'argent qu'il avait perdu au jeu.

On demande combien d'argent Pierre a perdu ? (p. 121)

Problème 3

Il faut de sa santé, mes enfants, prendre soin,
De la sobriété faire toujours usage ;

Le gourmand veut aller au-delà du besoin,
Se fait mal et périt à la fleur de son âge.

Pierre et Philippe, dont nous avons parlé dans l'exemple précédent, eurent un nombre égal d'œufs de Pâques. Pierre, qui, outre la passion du jeu dont il a été puni, était encore enclin à la gourmandise, ne put s'empêcher de les manger tous en un jour, ce qui lui causa une indigestion et le rendit malade. Philippe alla le voir et lui dit : « Si tu avais fait comme moi, tu ne serais pas malade. J'ai donné le tiers de mes œufs à maman pour les mettre sur la salade. J'en ai donné un autre tiers à mes deux sœurs et trois à mon camarade Louis et j'en ai mangé trois moi-même. »

Combien d'œufs Pierre a-t-il mangés ? (p. 122)

Solutions

1. On fait : 30 + 50 + 26 + 10 = 116. Les amis ont 116 noix.

2. On fait : 15 + 10 + 5 = 30 et 30 × 2 = 60. Pierre a perdu 60 sous.

3. Un tiers des œufs correspond à 6 œufs. Pierre a mangé 18 œufs de Pâques.

# 940               23 septembre  2014

Le biorythme

Certaines personnes consultent souvent leur horoscope. Toutefois, peu connaissent le biorythme qui peut être une autre source de prédictions. Si l’horoscope semble parfois farfelu, le biorythme, lui, a des racines plus personnelles parce qu’il est établi à partir de la date de naissance de toute personne.

Selon cette théorie, la vie d’une personne serait composée de trois cycles : un cycle physique de 23 jours, un cycle émotionnel de 28 jours et un cycle intellectuel de 33 jours. Le cycle physique est relatif à la condition physique qui touche notamment à l’endurance, à la résistance et à la qualité de ses forces. Le cycle émotionnel vise le comportement émotif qui conditionne l’esprit créateur, la confiance en soi et l’esprit critique. Le cycle intellectuel provient du cerveau. Il détermine l’esprit de synthèse, l’esprit d’analyse et la lucidité intellectuelle.

Comme les trois cycles commencent à la naissance et se poursuivent de façon continue, il est possible de trouver son biorythme en calculant d’abord le nombre de jours vécus depuis sa naissance. Il existe des sites sur internet qui fournissent ce renseignement. Bien plus, certains sites présentent son propre biorythme à partir de sa date naissance.

Si vous connaissez le nombre de jours vécus, vous pouvez faire les calculs pour chacun des cycles. Il s’agit de diviser ce nombre par celui qui exprime la longueur du cycle. Le quotient détermine le nombre de cycles vécus et le reste de la division permet de se situer dans les cycles en cours. C’est le reste de la division qui est la donnée importante. Par exemple, si Julie est à son 12 930^e jour, on fait : 12 930 ÷ 23 = 562, reste 4, 12 930 ÷ 28 = 461, reste 22 et 12 930 ÷ 33 = 391, reste 27.

Dans ce cas, Julie est au 4^e jour de son cycle physique, au 22^e jour de son cycle émotionnel et au 27^e jour de son cycle intellectuel.

Généralement, chaque cycle est représenté par une courbe périodique dont la première partie est positive et la seconde, négative. Pour faciliter l’analyse, nous vous présentons des tableaux qui contiennent des cotes qui varient de -100 % à 100 %. Vous n’avez alors qu’à consulter le tableau pour établir votre cote du jour. R désigne le rang du jour dans le cycle et C la cote en %.

  Cycle physique

Cycle émotionnel

Cycle intellectuel

Une cote de -100 signifie que vous êtes dans la pire situation du cycle. Au contraire, une cote de 100 laisse voir la meilleure situation. La cote 0 montre une oscillation entre le pire et le meilleur. Les cotes intermédiaires sont autant défavorables qu’elles se rapprochent de -100 et d’autant plus favorables quand elles tendent vers 100. Voici la situation de Julie d’après les données précédentes et une analyse succincte des cotes :

·     4^e jour du cycle physique : 73

·     22^e jour du cycle émotionnel : -100

·     27^e jour du cycle intellectuel : - 97

Ce jour-là, la situation de Julie n’est pas très rose. Même si elle est en très bonne forme physique et qu’elle a une bonne confiance en ses énergies et en ses forces, Pierrette est en période la plus basse au point de vue émotionnel. Elle a tendance à perdre confiance en elle-même et son esprit critique est plutôt négatif. Au point de vue intellectuel, elle éprouve beaucoup de difficultés à se concentrer et à soutenir une réflexion articulée.

Si cela vous amuse, calculez votre propre biorythme. Auparavant, faites un bilan de votre condition physique, émotionnelle et intellectuelle. Vous serez peut-être surpris de constater que votre biorythme vient parfois confirmer vos observations personnelles.

# 890               13 septembre 2014

Tables de multiplication

Un jour, une dame m’a écrit pour me demander comment montrer les tables de multiplication à son petit-fils qui était en 3^e année. Voici la démarche que je lui ai suggérée :

1. Utiliser des jetons. Les faire placer sur la table en groupes, par exemple en groupes de trois. Former des rectangles, des carrés.

2. Compter les jetons dans chaque figure d'abord un par un, puis par rangée. S'il a fait trois rangées de 4 jetons, il peut compter 4, 8, 12, etc.

3. Lui faire apprendre par cœur le comptage par bonds :

• 2, 4, 6, 8, 10, etc.

• 3, 6, 9, 12, 15, etc.

• 4, 8, 12, 16, 20, etc.

4. Lui apprendre à retrouver la réponse dans le comptage par bonds. Par exemple, pour trouver la réponse de 3 fois 7, faire 1 fois 7 = 7, 2 fois 7 = 14, 3 fois 7 = 21.

5. Se rapprocher lentement du par cœur en lui faisant abandonner graduellement les bonds.

À l'intérieur de chaque étape, vous pouvez le faire chanter, le faire écrire, le faire mimer, montrer la réponse avec ses doigts. Vous pouvez aussi produire des cartons sur lesquels on voit une multiplication à compléter, jouer un jeu qu'il aime et où les dés sont remplacés par des multiplications. Bref, il doit s'amuser et vous aussi.

Si l’enfant est visuel, vous pouvez insister beaucoup sur la manipulation et sur le fait de voir ensemble les nombres multipliés et le résultat. L’enfant visuel va conserver en mémoire, par exemple, 7 fois 8 = 56. S'il est auditif, vous pouvez insister sur la compréhension : le lien entre les bonds et la table.

# 864               7 septembre 2014

Une banque de problèmes

La banque de problèmes récréatifs de Récréomath est souvent consultée. Ceux ou celles qui aiment taquiner leurs méninges y trouvent 4000 situations variées.

• 100 jeux de société

Principalement dédiés aux élèves de la fin du primaire et du début du secondaire, les 100 jeux d'équipes font appel à des connaissances de base en mathématiques. Ils permettent d’approfondir une grande partie des notions enseignées à l’école.

• 1400 petites questions

La rubrique Quiz est partagée en deux parties. Récréoquiz contient 400 courts problèmes récréatifs. Mathoquiz présente 1000 questions qui touchent à divers aspects des mathématiques.

• 700 problèmes logiques

La rubrique Récréations logiques comprend 500 énigmes et 200 problèmes de raisonnement et de déduction. Les connaissances mathématiques requises sont minimes.

• 1800 problèmes récréatifs

Défis : On y trouve trois séries de 100 problèmes chacune qui exigent des connaissances élémentaires en mathématiques et une certaine habileté à résoudre des problèmes. La dernière série touche à des démonstrations.

Détente : On y trouve trois séries de 100 problèmes chacune qui conviennent aux jeunes de 9-12 ans et plus. Ces problèmes exigent peu de connaissances mathématiques et peu de stratégies. 

Récréations cryptarithmiques : Cette section comprend 300 problèmes dans lesquels des valeurs numériques sont attribuées à des lettres ou à des symboles. Ces problèmes peuvent être une initiation à l’algèbre.

Récréations géométriques : On y trouve 300 problèmes relatifs aux figures géométriques et à leurs propriétés. La troisième série présente des casse-têtes géométriques.

Récréations magiques : On y trouve 300 problèmes de combinaisons de nombres qui sont inscrits dans diverses figures. La troisième série présente des treillis magiques. 

Récréations numériques : Cette section comprend 300 problèmes relatifs aux nombres et à leurs propriétés. La troisième série exige une plus grande habileté en résolution de problèmes.

Si vous aimez être confronté à des problèmes mathématiques plus ou moins difficiles, visitez la banque de problèmes récréatifs de Récréomath.

# 836               31 août 2014

Le calendrier

Le calendrier peut être un objet de recherches mathématiques. Disons d’abord qu’il existe 14 calendriers différents : 7 pour les années où février a 28 jours et 7 où février a 29 jours. Dans ce dernier cas, on parle d’année bissextile. Un jour est ajouté en février pour corriger le fait que l’année tropique a 365,2425 jours, soit près de 365 jours et un quart. Une autre correction a été apportée si bien que les années finissant par 00 sont bissextiles seulement s’ils sont divisibles par 400. Par exemple, 2100 ne sera pas bissextile car non divisible par 400.

Si vous avez un calendrier de 2014, vous pouvez le conserver. Il sera le même en 2025, 2031, 2042, 2053 et 2059, pour ne nommer que les plus proches.

D’une année à l’autre, il y a un décalage d’un ou de deux jours dans les jours de la semaine, puisque 365 jours équivalent à 52 semaines et un jour et que 366 jours équivalent à 52 semaines et deux jours. Comme le 1^er janvier 2014 était un mercredi, le premier janvier 2015 sera un jeudi, un jour plus tard, le 1^er janvier 2016 sera un vendredi, un jour plus tard, et le 1^er janvier 2017 sera un dimanche, deux jours plus tard. Dans ce dernier cas, c’est dû au fait que 2016 est une année bissextile.

Si le nombre de jours d’une année était divisible par 7 et s’il n’y avait pas d’année bissextile à tous les quatre ans, les jours de la semaine seraient identiques d’une année à l’autre et il y aurait un seul calendrier au lieu de 14. C’est pourquoi, dans l’état actuel, les divisions par 7 et par 4 sont importantes quand on recherche le jour de la semaine d’une date donnée.

D’un mois à l’autre, le décalage est de 0, 1, 2 ou 3 jours. Par exemple, janvier ayant 31 jours, le décalage est de 3 jours. On y arrive en faisant 28 + 3 = 31 ou en divisant 31 par 7 : ce qui donne comme résultat 4, reste 3. Le nombre 4 qui détermine les semaines n’est pas important pour déterminer le jour de la semaine. Un mois comporterait 10 semaines et 3 jours. Ce serait le même décalage.

Bref, le décalage est de 0 jour quand un mois a 28 jours, 1 jour pour un mois de 29 jours, 2 jours pour un mois de 30 jours et 3 jours pour un mois de 31 jours.

Une étude plus poussée nous amènerait à trouver des dizaines d’autres propriétés aux calendriers.

# 816               26 août 2014

Mes articles dans Récréomath

Jusqu’à ce jour, j’ai écrit 29 articles sur des sujets mathématiques. Sept de ces articles ont été publiés dans des revues à caractère mathématique. J’en ai parlé au numéro 555 de ce blogue. Les autres ont été publiés dans Récréomath. Chaque article fait une dizaine de pages sur papier et a demandé plus ou moins de recherches selon le sujet traité.

Les 22 articles publiés seulement dans Récréomath peuvent être classés sous quatre rubriques.

1. Les treillis magiques (7 articles)

Treillis magique est un terme que j’ai adopté pour désigner toute grille ou toute autre figure dans laquelle généralement on peut écrire des nombres de façon que la somme de chaque rangée soit la même.

J’ai d’abord fait l’étude de carrés magiques d’ordres 3 à 6 où j’ai exposé les propriétés de chaque classe de carrés et où j’ai montré comment construire ces carrés.

• Carrés magiques d’ordre 3 en 2004

• Carrés magiques d’ordre 4 en 2006

• Carrés magiques d’ordre 5 en 2012

• Carrés magiques d’ordre 6 en 2012

  Dans l’article Carré antimagique d’ordre 3, j’ai démontré qu’il n’existe pas de carré de cette classe. Dans l’article Carrés magiques à compartiments, j’ai donné une démarche générale de formation avec des exemples de carrés de différents degrés. Dans l’article Les treillis magiques, j’ai proposé un vocabulaire propre à cette classe, une méthode de classification, certaines propriétés générales et un procédé de formation

2. Les nombres (3 articles)

Les nombres peuvent être l’objet de nombreuses recherches. Certaines classes ont des propriétés si riches qu’elles pourraient s’étaler sur des centaines de pages. Deux de mes articles ont abordé les nombres triangulaires.

• Quand les oiseaux volent ! en 2002

• Relations entre les triangulaires et les carrés en 2010

  Dans ce dernier article, j’ai montré qu’il existait de nombreux liens de parenté entre ces deux classes. En 2013, j’ai présenté des algorithmes permettant de trouver des triplets de Pythagore. L’article est intitulé Triplets de Pythagore.

3. Les récréations mathématiques (7 articles)

L’article qui a demandé le plus de recherches est sans aucun doute Notes pour une histoire des mathématiques récréatives où j’ai tenté de cerner comment les mathématiques récréatives avaient évolué au cours des siècles. J’ai y présenté le plus d’auteurs possible.

Dans Petit guide pour composer des récréations, j’ai proposé des pistes à de futurs auteurs en donnant une démarche générale. L’article Survol des récréations mathématique s’inscrit dans ce cadre.

Les quatre autres articles présentent des problèmes anciens :

• Les récréations de l’Anthologie grecque avec 48 problèmes

• Récréations et énigmes du dictionnaire encyclopédique de Jacques Lacombe avec 34 problèmes

• Récréations mathématiques de Mondeux-Jacoby avec 58 problèmes

• Les propositions d’Alcuin avec 53 problèmes

  Pour le dernier article, le texte était en latin. J’ai donc dû le traduire.

4. Différents sujets (5 articles)

Les articles sont :

• Cavalerie latine : étude des carrés latins

• Magie et jour de la semaine : étude du calendrier

• Le temps des récréations : étude de la mesure du temps, de sa division et de son passage

• Repérage sur un échiquier : étude sur le dénombrement de carrés et de rectangles.

• Vrais et faux jumeaux chez les dés à jouer : étude de différentes formes de dés associés en paires.

Ces articles s’intègrent bien dans un site comme Récréomath parce qu’ils permettent de montrer que tous les sujets mathématiques n’ont pas encore été explorés. Ils permettent aussi de situer certaines notions mathématiques sous un angle nouveau et d’élargir le champ des récréations mathématiques.

# 792               20 août 2014

Les poignées de mains

Le problème des poignées de mains est remarquable. Son énoncé est très simple : « Un certain nombre de personnes se donne mutuellement la main. Combien de poignées de mains seront échangées ? » Il y a de nombreuses façons de le résoudre. C’est ce qu’on appelle des stratégies. Dans le lexique de résolution de problèmes de Récréomath à l'article Poignées de mains, j’ai mentionné 16 stratégies et il y en a probablement d’autres.

La stratégie la plus simple et qui est adaptée aux enfants du primaire est celle de vivre la situation par des gestes. Cette stratégie s’applique lorsque le nombre de personnes est relativement petit.

On demande à quatre enfants de se présenter en avant de la classe et de se placer en une rangée horizontale. Pour éviter le désordre et l’incompréhension, l’enseignant dirige la démarche. Le premier enfant donne la main au deuxième, au troisième et au quatrième. Le deuxième enfant donne la main au troisième et au quatrième. Le troisième enfant donne la main au quatrième. Pendant ce temps, les autres élèves comptent les poignées de mains 1, 2, 3, 4, 5, 6. Si les élèves ne peuvent pas suivre, on recommence la démarche.

Par la suite, on peut demander à un cinquième élève de rejoindre le groupe de 4. On refait l’expérience sans que l’enseignant n’intervienne. Les élèves ont appris à procéder de façon systématique.

Au lieu de personnes physiques, on peut demander aux élèves d’utiliser des jetons sur lesquels l’enfant aura écrit des noms. À mesure qu’il apparie les jetons, il fait le décompte. On pourrait aussi lui suggérer d’écrire une lettre au lieu d’un nom.

On peut demander aux élèves de représenter sur papier l’une des expériences qu’ils viennent de vivre. Ils pourront placer quatre noms et écrire, par exemple : Marie donne la main à Luc, Marie donne la main à Julie, etc. Le processus est un peu long. L’enseignant peut intervenir pour leur suggérer de désigner les enfants par A, B, C, D et de mettre un symbole pour représenter le couple. Ce peut être une flèche ou un dessin de son choix. L’enfant écrira : A → B, A → C, A → D, B → C, etc.

Les stratégies mentionnées permettent à l’enfant de passer du stade concret au stade abstrait. On a d’abord des personnes physiques, leur représentation par des jetons identifiés à un nom puis à une lettre et finalement leur représentation sur papier.

À partir de ce petit problème, l’enseignant vient de plonger l’élève dans la résolution de problèmes. Sans doute que des bribes de ces démarches lui serviront dans d’autres problèmes.

Mes livres en mathématiques

Jusqu’à aujourd’hui, j’ai publié 25 livres qui touchent aux mathématiques récréatives. Il n’a pas été facile de se tailler une place dans ce domaine même s’il était presque inoccupé. Comme les gens connaissaient peu ce créneau, la demande était faible et les librairies généralistes, bien souvent, ne savaient pas dans quel rayon classer ce genre de livres. Je disais souvent que j’aurais aimé avoir de la concurrence.

Mon premier livre était un recueil d’une trentaine de problèmes et de jeux pour les classes du secondaire. Ces activités touchaient aux nombres, aux carrés magiques, au déplacement du cavalier et à des parcours variés de jetons. Le titre était Activités mathématiques pour une classe. Il fut publié en 1973.

En 1974, j’ai eu l’idée de mettre sur le marché une revue bimensuelle Mini-jeux magiques. Chaque numéro contenait une vingtaine de problèmes récréatifs conçus pour le grand public. Après huit numéros, le distributeur a cessé de les acheminer aux tabagies.

En 1976, j’ai proposé aux Éditions de l’Homme un manuscrit composé de 150 problèmes mathématiques dont le titre était Distractions mathématiques. Le manuscrit fut accepté et il fut publié en 1977. Ce livre de 181 pages s’est vendu à 10 000 exemplaires en deux ans. Le succès a été principalement dû à la grande publicité faite par la maison d’édition dans les magazines populaires.

Par la suite, j’ai proposé des manuscrits à plusieurs maisons d’édition. Mais aucune ne voulait prendre de risques. En 1979, j’avais dit à un collègue de Québec, enseignant en mathématiques, que je préparais du matériel en vue de le publier à la télévision. À ce moment, internet n’existait pas. On disait qu’il y aurait dans l’avenir des centaines de chaînes à la télévision. J’imaginais une chaîne spécialisée qui pourrait diffuser oralement ou par écrit des problèmes récréatifs.

En 1981, le ministère de l’Éducation a publié un ensemble de documents pour aider les enseignants du premier cycle du secondaire à appliquer le nouveau programme de mathématiques. J’ai conçu un document qui contenait des méthodes de constructions de carrés magiques d'ordres 3, 4 et 5, de même que de nombreux problèmes sur les carrés magiques. Il fut publié sous le titre Initiation aux carrés magiques.

Vers le même temps, Modulo Éditeur a accepté mon manuscrit Évasions calculées qui fut publié en 1982. Le recueil comprenait 80 problèmes amusants qui touchaient aux domaines les plus populaires des récréations mathématiques. Malgré de bonnes critiques, le succès fut mitigé.

En 1988, après 10 ans de collaboration à la revue du GRMS. À ma demande, l’organisme a accepté de faire un recueil de mes problèmes. J’ai choisi 150 problèmes parmi les meilleurs. Le livre dont le titre est Au jeu ! fut publié en 1988. Il fut réédité en 1995.

En 1989, j’ai publié Au royaume des chiffres chez Éditeq. Le livre contenait 75 petits problèmes amusants pour les jeunes de 8 à 12. Cet ouvrage eut peu de succès.

En 1990, j’ai entrepris une collaboration avec le magazine mensuel pour jeunes Les Débrouillards. Je présentais six ou sept problèmes par numéro. Cela m’a ouvert la porte à la production de deux livres qui contenaient les meilleurs problèmes publiés dans la revue : Jouons avec Beppo 3 en 1996 et Jouons avec Beppo 4 en 1997.

À ma surprise, pendant cette période, j’ai reçu une demande des Éditions de la Paix pour publier un livre d’énigmes. J’avais alors composé peu d’énigmes. Toutefois, je trouvai le défi intéressant et j’acceptai. Une trilogie fut publiée : Remue-méninges en 1994, Drôles d’énigmes en 1996 et Question de rire, en 2000. Les deux premiers eurent un grand succès. Selon l’éditeur, ils ont aidé à propulser la jeune maison d’édition.

En 2000, j’ai mis en ligne le site Récréomath. J’ai y publié les problèmes que j’avais accumulés depuis une vingtaine d’années. Dans une section spéciale réservée aux livres, j’ai pu éditer 10 livres :

• Amusements mathématiques, en 2009

• Mathematical Amusements, en 2009

• Mathémots, en 2009

• Débrouilleries, en 2010

• Secrets des carrés magiques d’ordre 3, en 2011

• Récréations orphelines, en 2012

• Panoplie de formules, en 2012

• Algorithmes en tête, en 2013

• Preuves à l’appui, en 2013

• 1001 nombres charmants, en 2014.

Ce dernier livre présente des propriétés des nombres de 1 à 1000 et couvre 571 pages sur papier.

Pendant ces dernières années, j’ai publié trois autres livres.
• 365 énigmes et devinettes, vol. 2. Goélette, 2010.
• 1001 énigmes et devinettes. Coup d'œil, 2010.

• 500 énigmes et devinettes, Coup d'œil, 2012.

À l’exception des livres publiés comme tels dans Récréomath, on pourrait facilement compter 13 autres livres si on assemblait le matériel par catégorie. On aurait un livre de jeux de société, huit livres de récréations partagées en autant de classes, un recueil d’articles, un aide-mémoire, un dictionnaire de mathématiques récréatives et un lexique de résolutions de problèmes.

Internet a été, pour moi, un moyen de communication sans égal pour pouvoir diffuser mon matériel et atteindre des gens de toute classe sociale dans le monde entier.  

# 666               13 juillet 2014

Le nombre de la bête

Quoi de mieux que d’honorer l’article 666 en traitant de 666 qui a été appelé le nombre de la bête. Son origine remonte à la Bible. En effet, dans l’Apocalypse, au chapitre 13, verset 18, Saint-Jean écrit : « Que l’homme doué d’esprit calcule le nombre de la Bête, c’est un nombre d’homme. Ce nombre est 666. »

Le numéro du chapitre est 6 + 6 + 6/6 = 13. La somme des chiffres de 666 est 18 comme le numéro du verset.

Comme 666 a été cité dans la Bible à quelques occasions, ce nombre a marqué l’imaginaire. On l’associe au diable, au démon ou à Satan, tout comme 13 est considéré par certains comme un signe de malchance. Si votre numéro de porte est 666 et si votre maison brûle, on dira que c’est Satan qui a mis le feu. Pourtant, la majorité des maisons qui ont ce numéro ne sont pas objets de déflagration.

Des faits divers sont quand même surprenants. Par exemple, lors de la mission Apollo 11, le président américain a appelé Neil Armstrong, premier homme à avoir marché sur la lune, en utilisant le numéro 666-6666.

Si on donne à chaque lettre la valeur numérique qui correspond à son rang, CHARLES = 66. Heureusement ou malheureusement, il manque un 6.

Si on donne à chaque lettre trois fois la valeur numérique qui correspond à son rang, QUÉBÉCOIS + ACCOMMODATION = 666, DIABLE + DÉMON + SATAN + TREIZE = 666, DIABLE + DÉMON + SATAN + JALOUX = 666 et DIABLE + DÉMON + SATAN + EMPOCHER = 666.

Si on donne à chaque lettre six fois la valeur numérique qui correspond à son rang, DIABLE + MALHEUR = 666, DIABLE + TYRAN = 666, DIABLE + DUPERIE = 666, DÉMON + MALCHANCE = 666 et SATAN + BOMBES = 666.

Si on donne à chaque lettre neuf fois la valeur numérique qui correspond à son rang, GUERRE = 666, LUCIFER = 666, DIABLE + SANG = 666 et BÊTE + FOU = 666.

Une chose est certaine. Le nombre 666 jouit de propriétés mathématiques étonnantes. En voici quelques-unes :

• La somme des entiers de 1 à 36 est égale à 666. En effet, 1 + 2 + 3 + … + 35 + 36 = 666.

• La somme des carrés des sept plus petits nombres premiers est 666. En effet, 2² + 3² + 5² + 7² + 11² + 13² + 17² = 666.

• La somme de ses chiffres et du cube de ces mêmes chiffres est 666. En effet, 6 + 6 + 6 + 6³ + 6³ + 6³ = 666.

• La somme des cubes de 1 à 36 est égale à 666 au carré. En effet, 1³ + 2³ + 3³ + ... + 35³ + 36³ = 666².

• On peut décomposer ce nombre ainsi : 2 × 3 × 3 × 37 = 666. La somme des chiffres de part et d’autre du signe d’égalité est 18.

• Ce nombre qui est triangulaire peut s'exprimer comme la somme de trois autres nombres triangulaires : 15 + 21 + 630 = 666.

• La pagination d’un livre de 666 pages nécessite 1890 chiffres ; la somme des chiffres est 18 dans les deux cas.

• La somme des chiffres des nombres de 1 à 666 est 222 111, un nombre formé de six chiffres dont la somme des chiffres est 9 qui est un diviseur de 666.

• C’est le premier terme d’une suite de 37 carrés consécutifs d’une égalité dans laquelle le premier membre contient 19 termes et le second 18 termes : 666² + 667² + ... + 683² + 684² = 685² + 686² + ... 702² + 703². Or, 666 ÷ 37 = 18.

• Ce nombre s’écrit DCLXVI en chiffres romains. Six des sept chiffres romains apparaissent en ordre décroissant une et une seule fois. Bien plus, si on donne à chaque lettre neuf fois son rang dans l’ordre alphabétique, on obtient 666.

• Ce nombre est la somme des cubes d’entiers de 1 à 5 et des cubes d’entiers de 1 à 6. On a : (1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³) + (1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + 6³) = 666.

• La somme des nombres d’un carré magique qui contient les nombres de 1 à 36 est égale à 666. La somme des nombres de chaque rangée est 111, soit un sixième de la somme totale. Voici un carré magique dans lequel le 6 et le 36 sont aux extrémités de la première ligne :

Bref, 666 est un nombre dont les propriétés sont importantes. Toutefois, il n’est pas plus dangereux qu’un autre.

# 645               6 juillet 2014

Chroniques en mathématiques

Au fil des ans, j’ai écrit des chroniques dans les journaux et dans les magazines. Il ne s’agissait pas de chroniques qui avaient pour objet d’analyser des faits. Je présentais plutôt des problèmes récréatifs avec leur solution.

J’ai débuté au journal Progrès-Écho de Rimouski en 1975. Ces chroniques furent publiées pendant 17 semaines à raison d'un problème récréatif par semaine. Cette collaboration fut abandonnée à la suite d’une grève des journalistes.

En mars 1978, j’ai commencé une chronique trimestrielle dans la revue Envol du GRMS (Groupe des Responsables de Mathématiques au Secondaire). J’ai mis fin à ces chroniques en juin 1988. Chacun des 38 articles présentait trois ou quatre problèmes récréatifs et un court texte destiné à la réflexion. Pendant ces 10 années, j’ai composé 170 problèmes qui furent publiés en un livre par le GRMS en 1988 sous le titre Au jeu ! et réédité dans Récréomath.

En avril 1978, le magazine Le Lundi acceptait de me donner un espace. Pendant 15 mois,  quatre ou cinq problèmes récréatifs furent publiés chaque semaine. En tout, j’ai produit 70 chroniques pour un total d’environ 315 problèmes. L’éditeur trouvait mes problèmes trop difficiles. À un moment donné, il a décidé de ne plus accepter ma collaboration.

En 1981-1982, j’ai fourni au journal Le Nordic de Sept-Îles un problème récréatif pendant 34 semaines.

De 1990 à 1996, j’ai collaboré au magazine mensuel pour jeunes Les Débrouillards. Je présentais six ou sept problèmes par numéro, pour un total d’environ 200 problèmes. J’ai choisi 150 problèmes pour produire le livre Débrouilleries dans Récréomath.

En 1996, j’ai eu une chronique hebdomadaire dans le quotidien Le Fleuve de Rimouski. Chaque numéro comportait cinq ou six problèmes récréatifs comportant des chiffres et des lettres. J’ai tenu le phare pendant une vingtaine de semaines pour un total de 126 problèmes. Malheureusement, le quotidien a dû fermer ses portes. Le livre Mathémots dans Récréomath contient la plupart de ces problèmes.

Bref, de 1975 à 1996, j’ai publié plus de 850 problèmes dans différents journaux et magazines.

# 624               29 juin 2014

Entre deux points

Tout le monde a appris à l’école que le plus court chemin entre deux points est la droite. C’est le mathématicien grec Euclide qui a vécu vers 300 av. J.-C. qui, le premier, l’a affirmé dans un livre intitulé les Éléments. Par la suite, d’autres géomètres ont contesté cette affirmation et ont plutôt tenté de prouver que c’est la courbe qui est le plus court chemin. Ils ont ainsi créé des géométries qu’on appelle non euclidiennes.

Si un de vos amis demeure en face de chez-vous sur la rue parallèle voisine, le plus court chemin pour s’y rendre est-il la ligne droite ? Oui, s’il n’y a pas d’obstacles comme une haie de cèdre ou une palissade et si vous ne voyez pas d’inconvénient à passer sur une propriété privée. Non, si vous devez passer par la rue transversale la plus proche.

Vous arrivez face à une montagne. Si vous suivez une droite, vous devrez faire l’ascension de la montagne et en redescendre. Quelle dépense d’énergie ! Vous pouvez contourner la montagne à la condition qu’elle ne s’étende pas sur des kilomètres. Dans ce cas, il est probable que la ligne droite ou le détour ne présentent pas une solution pour vous, à moins de commander un hélicoptère pour respecter la ligne droite.

Admettons qu’il vous est possible, en marchant, d’atteindre un point en ligne droite. Comme la terre est ronde, en réalité, vous suivez une ligne courbe. Évidemment, la différence de longueur entre la droite sur papier et la courbe réelle est négligeable. Mais si vous deviez parcourir des milliers de kilomètres, c’est une autre affaire.

Même en géométrie, la ligne droite n’est pas toujours le plus court chemin. Comme décoration, un gros dé est accroché au plafond. Une mouche part d’un coin et veut se rendre au coin opposé. Elle ne pourra pas y aller en ligne droite, d’ailleurs pas plus en ligne courbe car elle ne peut passer à travers le dé.

Il arrive, dans les conversations, que votre interlocuteur n’adopte pas la ligne droite pour vous passer un message. Il préfère y aller par des détours : ce qui se rapproche davantage de la ligne courbe. S’il y va tout droit, on dit qu’il est franc ; s’il préfère les détours, au Québec, on dit qu’il est ratoureux.

Bref, la géométrie euclidienne est parfaite sur papier ; mais quand on la confronte à la réalité elle perd quelques plumes … droites ou courbes.

Un proverbe Mali s’énonce ainsi : « Le chemin le plus court pour aller d'un point à un autre n'est pas la ligne droite, mais le rêve. »

# 603               22 juin 2014

Décorations mathématiques
Les chiffres s’assemblent parfois de curieuses façons. On peut y voir des régularités étonnantes. Voici un exemple :

J’ai traduit cette mosaïque de chiffres en couleurs. Il est possible que l’agencement des couleurs laisse à désirer. Toutefois, chaque chiffre a une couleur différente et les signes ont été omis.

  Il existe bien d’autres cas où on trouve des régularités. En voici sept :

N’est-ce pas magnifique de voir les chiffres s’épivarder de cette façon. Bien sûr, dans la vie de tous les jours, ils ne sont pas toujours en harmonie avec les autres. Ils ne sont pas toujours aussi soumis. Quand vous regardez les chiffres d’une facture, ils sont loin de montrer autant de solidarité et de compassion.

Si les humains affichaient toujours les mêmes régularités, la vie serait monotone. Qu’en pensez-vous ?

# 585               16 juin 2014

La fête des pères

Hier, c’était la fête des pères. C’est une fête annuelle célébrée en l’honneur des hommes qui ont des enfants. Cette fête origine des États-Unis. C’est Sonora Smart Dodd, en 1909, qui eut l’idée de l’instaurer. La fête fut donc célébrée pour la première fois en 1910 dans la ville natale de Madame Dodd. En France, elle fut instituée en 1952. Aux États-Unis, ce n’est qu’en 1966 que le président Lyndon B. Johnson la rendit officielle.

La date de cette fête varie selon les pays. Par exemple, notamment en Italie, en Espagne, au Honduras et en Suisse, la fête est célébrée le 19 mars, en l’honneur de saint Joseph, père putatif de Jésus. Dans 32 pays, dont les États-Unis, le Canada, la France, la Chine et le Japon, c’est le troisième dimanche de juin.

Pour nous, au Québec, cette fête arrive du 15 au 21 juin. Je me suis amusé à concocter un algorithme pour trouver le quantième pour une année donnée du 21^e siècle, en imaginant qu’une personne n’a pas le calendrier requis. Voici cet algorithme :

1. On prend les deux derniers chiffres de l’année.

2. On divise ce nombre par 4 et on retient le quotient en ignorant le reste.

3. On additionne les deux premiers résultats.

4. On divise la somme par 7 et on conserve seulement le reste.

Le tableau suivant indique le quantième pour chaque reste.

Par exemple, quel sera le quantième en 2025 ? On prend 25. On divise par 4. Le résultat est 6 reste 1. On retient 6. On fait : 25 + 6 = 31. On divise 31 par 7. Le résultat est 4 reste 3. On va dans le tableau. Le reste 3 correspond au quantième 15. En 2025, la fête des pères aura lieu le 15 juin, tout comme, par exemple, en 2014, 2031, 2042 et 2053.

Cet algorithme est de peu d’intérêt pratique. Mais, le fait de pouvoir trouver le quantième à travers cet outil montre une application de plus pour les mathématiques. C’est d'ailleurs dans une telle démarche que les mathématiques récréatives puisent leurs lettres de noblesse.

Si on veut passer pour un petit futé, on demande à une autre personne d’énoncer une année du 21^e siècle. Après avoir mémorisé le tableau et fait mentalement les calculs appropriés, on énonce le quantième.

# 576               13 juin 2014

L’infinité

Commençons par le paradoxe de l’hôtel infini qui est dû au mathématicien allemand David Hilbert (1862-1943) : Un hôtelier ayant des chambres en nombre infini peut louer une chambre, même si elles sont toutes occupées. Comment s’y prend-il ? Il fait passer la personne de la chambre 1 à la 2, celle de la chambre 2 à la 3 et ainsi de suite. Il peut alors louer la chambre 1 au dernier arrivé.

N’est-ce pas astucieux ? On établit une situation impossible et on raisonne comme si cette situation était possible.

Y a-t-il une infinité d’arbres sur la terre ? Non. Même si ce nombre est très grand et même incalculable, il est fini.

Y a-t-il une infinité de nombres entiers ? Oui. Si on voulait écrire tous les nombres entiers, cela prendrait des siècles et on n’aurait pas encore terminé. On pourrait épuiser les forêts pour produire une infinité de livres contenant tous ces nombres.

Les nombres pairs sont ceux divisibles par 2 : 2, 4, 6, 8, etc. Y a-t-il une infinité de nombres pairs ? Oui. Pourtant l’ensemble des nombres pairs contient la moitié de l’ensemble des nombres entiers.

Dans ce cas, l’ensemble des nombres entiers est-il plus grand que l’ensemble des nombres pairs ? Non. En comparant les deux ensembles élément à élément, on pourrait conclure que la réponse est oui. Si on les analyse chacun de leur côté, on sait qu’on ne pourrait jamais écrire tous les nombres pairs. Les deux ensembles sont infinis. On ne peut pas dire qu’un ensemble est plus infini qu’un autre.

Les nombres impairs sont ceux qui ne sont pas divisibles par 2 : 1, 3, 5, 7, etc. Y a-t-il une infinité de nombres impairs ? Oui. Pourtant l’ensemble des nombres impairs contient la moitié de l’ensemble des nombres entiers.

Si on réunit l’ensemble des nombres pairs et l’ensemble des nombres impairs, on obtient l’ensemble des nombres entiers. Peut-on conclure que la réunion de deux ensembles infinis donne toujours un ensemble infini ? Non.

Si vous m’avez suivi jusqu’ici vous êtes patient. C’est tout à votre honneur.

# 555               6 juin 2014

Articles sur papier en mathématiques

Au cours des années, j’ai publié sept articles dans des revues d’intérêt mathématique.

1. Le 29 novembre 1979, alors que j’étais responsable national de l’implantation des programmes de mathématiques, j’ai livré à Québec une communication devant les membres du Groupe des responsables de mathématiques au secondaire (GRMS). Ce texte intitulé L’implantation des programmes fut publié dans la revue de l’Association mathématique du Québec (AMQ) en mars 1980.

2. Un peu plus tard, j’ai présenté aux responsables du bulletin de l’AMQ un texte sur les nombres palindromes. Même si ce texte n’était pas très substantiel, il a été accepté et publié en mai 1981. (Voir le texte dans Récréomath).

3. En 1984, j’ai présenté à la même revue un texte sur les suites arithmétiques. Il y avait plus de création dans celui-ci que dans le précédent. Après suggestions de modifications, le texte a été publié en octobre 1985 sous le titre Les suites arithmétiques : un nouvel univers à explorer. J’avais établi des formules pour les suites inférieures ou égales à 3 et j’avais généralisé pour toute suite de degré quelconque. (Voir le texte dans Récréomath)

4. En décembre 1988, je publiais dans la même revue un texte sur les carrés magiques. Ce texte de 10 pages intitulé Une nouvelle approche pour la construction de carrés magiques d'ordre 5 explicitait une méthode visant à construire 52 992 carrés magiques d’ordre 5. Il y avait donc une grande part de création dans cet article. (Voir le texte dans Récréomath)

5. J’ai récidivé en mars 1991, toujours dans la même revue, avec un article de 10 pages sur les nombres trapézoïdaux. À ma connaissance, cette classe de nombres n’avait jamais été l’objet d’une étude exhaustive. J’ai alors découvert qu’il y avait une relation étroite entre les nombres trapézoïdaux et les nombres premiers. (Voir le texte dans Récréomath)

6. Dans la revue Envol du GRMS, en avril 1997, j’ai publié mon testament pédagogique par le biais d’un article Portrait des futurs enseignants et enseignantes en mathématique au secondaire. Ce texte décrivait 10 critères permettant de faire un choix judicieux dans l’engagement de nouveaux professeurs de mathématiques. Il a été très bien reçu puisqu’on m’a attribué le prix du meilleur article de la revue en 1996-1997.  (Voir le texte à l’article 055)

7. Dans la même revue, j’ai publié en mars 1999 un article intitulé L’apprentissage de la mesure. J’expliquais le concept de mesure et comment le langage de l’enseignant en mathématiques devait s’appuyer sur ce concept. Cet article a été l'objet de controverses.

# 540               1 juin 2014

Deux lexiques

Dans mon site Récréomath, on trouve deux lexiques. Un lexique appelé Aide-mémoire et un Lexique de résolution de problèmes.

1. L’Aide-mémoire

Ce document s’adresse à ceux ou à celles qui ne maîtrisent pas totalement la langue mathématique. Il présente les termes mathématiques de base. Les définitions proposées sont données en termes simples, parfois accompagnées d’illustrations.

L’Aide-mémoire contient 250 termes reliés à différents domaines des mathématiques élémentaires. On y trouve notamment 57 entrées pour l’arithmétique, 15 pour l’algèbre, 99 pour la géométrie et 26 pour les graphes et réseaux.

D’après les statistiques fournies par l’hébergeur du site, l’aide-mémoire est assez fréquenté par les élèves en classe. Les quatre entrées qui reçoivent un plus grand nombre de visiteurs sont : polygone, fraction,  triangle, cercle. L’avantage pour l’élève, c’est qu’on retrouve les termes reliés à ces concepts en une seule page web.

Il existe sur papier des dizaines de lexiques en mathématiques. L’Aide-mémoire a l’avantage d’être à la portée de la souris.

2. Le Lexique de résolution de problèmes

Ce lexique se veut une aide pour ceux qui veulent résoudre des problèmes de type récréatif, mais aussi pour tous ceux qui veulent améliorer leur performance en résolution de problèmes. Il contient 216 termes. On y trouve notamment 19 entrées sur la compréhension d’un énoncé, 22 sur la démarche à appliquer et 80 sur les stratégies de résolution de problèmes.

Ce document est moins fréquenté que l’Aide-mémoire. Mais cette fréquentation augmente peu à peu. En effet, les programmes scolaires de mathématiques, de plus en plus, prônent la résolution de problèmes. On est conscient que des connaissances de base en mathématiques sont essentielles ; mais, avec le développement des technologies, on veut s’assurer que les élèves soient capables d’entreprendre des démarches de résolution adaptées à leurs capacités.

Il n’existe pas de lexique de résolution de problèmes sur papier et sur le web. C’est donc un document unique qui nécessite l’apport des enseignants pour que l’élève puisse en venir à maîtriser le plus de stratégies possible.

En conclusion, on peut dire qu’avec le dictionnaire de mathématiques récréatives, ces deux documents forment un trio qui a le mérite d’apporter des connaissances et des habiletés à l’élève et à toute personne qui aime jouer avec les concepts mathématiques et leurs applications.

# 522               26 mai 2014

Un dictionnaire

Quand j’étais étudiant, je ne pensais jamais écrire un  dictionnaire, encore moins en mathématiques. Vers 1982, alors que j’étais novice dans le domaine des mathématiques récréatives, j’ai pensé écrire un lexique sur le sujet. J’ai donc rassemblé ici et là, à partir de mes livres, des termes qui pourraient entrer dans un tel ouvrage. J’y faisais une définition succincte avec un exemple au besoin.

Au bout de cinq ou six ans, j’avais défini environ 400 termes répartis sur près de 100 pages. Me rendant compte que je n’avais pas couvert l’ensemble de la matière et que les explications étaient trop synthétisées, j’ai décidé de me lancer dans le projet d’un dictionnaire. En plus d’ajouter de nouveaux termes, il a fallu repenser chaque entrée en élaborant davantage les définitions, en ajoutant des propriétés et en donnant plus d’exemples. Je suis passé de 100 à 500 pages en plusieurs versions que j’imprimais au fur et à mesure.

Il me restait à faire la révision de l’ensemble de l’œuvre : ce qui s’avérait une tâche colossale. Cela traîna un an ou deux. Un matin du début de juillet 1995, en me levant, je me suis dit : « C’est aujourd’hui ou jamais. » J’ai passé une grande partie du mois de juillet 8 heures par jour, 7 jours par semaine à réviser les textes. Heureusement que j’avais eu la précaution d’élaborer un ouvrage connexe qui citait toutes les sources que j’avais consultées en regard de chaque entrée. Vers le 26 juillet, j’avais terminé la révision. Cela constituait ma huitième version.

J’ai appelé un éditeur avec qui j’avais déjà transigé. Je lui ai parlé de mon œuvre. Il m’a dit qu’il n’avait pas les reins assez solides pour se lancer dans une telle aventure. En octobre 1995, j’ai rencontré un consultant pédagogique. Celui-ci était à l’emploi d’une maison d’édition qui produisait des manuels scolaires en mathématiques. Je lui ai expédié mon manuscrit qu’il a remis à l’éditeur.

En février 1996, l’éditeur m’écrivait qu’il avait apprécié mon manuscrit. Il reprenait l’expression de Voltaire : « C’est de la belle ouvrage. » Immédiatement, le manuscrit fut confié à un linguiste et à un spécialiste en mathématiques pour la double vérification. L’étude des marchés commença. L’éditeur parlait de marchés parce qu’il voulait s’associer à un éditeur français. C’était pour lui une condition essentielle pour se lancer dans cette aventure.

J’ai rencontré l’éditeur au moins quatre fois. Il m’a même appelé de Paris pour m’informer de ses démarches. Pendant ce temps, le contrat d’édition était en élaboration et la production avançait rondement.

En novembre 1999, l’éditeur m’informait qu’il ne pouvait pas donner suite au projet vu qu’il n’avait pas réussi à trouver d’éditeur européen. J’étais déçu, mais en même temps j’étais reconnaissant pour tout le travail que sa maison d’édition avait réalisé. Cela a dû lui coûter des milliers de dollars. C’est d’ailleurs grâce à lui si j’ai eu la prétention de mettre mon dictionnaire en ligne en 2000 dans un site que j’ai créé : Récréomath. En effet, je pouvais m’appuyer sur l’expertise d’un spécialiste en mathématiques et d’un linguiste pour valider mon œuvre. Inutile de dire que ce travail de production ne m’a pas coûté un sou. Quelle chance j’ai eu !

Pendant les trois premières années où mon dictionnaire était en ligne, j’ai ajouté une centaine de pages. Cet ouvrage qui est unique au monde définit près de 1700 termes et présente environ 800 illustrations. J’en ai profité pour traduire certains termes de l’anglais. Par exemple, j’ai traduit repdigit par nombre uniforme qui a été repris par Wikipédia.

Le mérite du dictionnaire, c’est d’avoir rassemblé une grande partie des termes qui peuvent être associés aux mathématiques récréatives. Ne nous méprenons pas. Il existe depuis des siècles des auteurs qui ont conçu des récréations mathématiques. Ce dernier terme, on le rencontre quelques fois, en particulier chez Édouard Lucas. Mais le terme de mathématiques récréatives apparaît très rarement dans les écrits.

Je suis très fier de ce document car il a permis de définir les mathématiques récréatives. Je serais porté à croire que c’est un petit pas pour l’évolution de la science mathématique. Je pense ainsi avoir démontré que les mathématiques récréatives peuvent être désormais considérées comme une branche des mathématiques.

Si vous n’êtes pas un amateur ou une amatrice de mathématiques, allez quand même visiter le dictionnaire pour vous rendre compte de ce qu’il est. Il vous attend.

# 497               17 mai 2014
Vers les mathématiques récréatives

Du primaire à l’université, aucun enseignant ne m’a parlé de mathématiques récréatives. Je le comprends : le concept de mathématiques récréatives n’était pas encore défini. Dans le même ordre d’idée, aucun enseignant ne m’a proposé des problèmes récréatifs. Là, c’est plutôt étonnant parce que les problèmes récréatifs sont connus depuis des siècles. Par exemple, Alcuin qui est né vers 730 et qui fut précepteur sous Charlemagne, a composé, en latin, des dizaines de problèmes récréatifs. On en trouve 53 dans l’article Les propositions d’Alcuin, publié dans Récréomath.

J’ai commencé à m’intéresser aux mathématiques récréatives quand j’avais 30 ans. Un jour, j’ai trouvé sur les tablettes d’une librairie un livre intitulé Les nombres et leurs mystères d’André Warusfel. Ce livre avait été publié aux Éditions du Seuil en 1961. À part les manuels scolaires, c’était le premier livre de mathématiques que j’achetais. À cette époque, si on exclut les grands centres, les livres de mathématiques étaient très rares en librairie.

Je suis tombé sur une page du livre qui traitait succinctement des carrés magiques. Un carré magique est un arrangement de nombres placés dans une grille carrée, tel que la somme est la même dans chaque ligne, colonne et diagonale. Dans le livre, on disait qu’il y avait un seul carré magique 3 × 3 qui contenait les entiers de 1 à 9. Cela a attiré mon attention. J’ai décidé d’élargir mes recherches à tout ensemble de nombres et à trouver des propriétés communes à ces carrés magiques.

Je m’étais donné comme défi d’écrire un livre sur les carrés magiques 3 × 3. À partir d’aucun document, j’y ai travaillé deux ou trois ans pour réussir à produire un manuscrit de 234 pages. Je n’ai jamais présenté cette œuvre à un éditeur sachant fort bien que la clientèle pour un tel produit était presque inexistante. Toutefois, je l’ai révisé et j’ai publié une version modifiée dans Récréomath, en 2011, sous le titre Secrets des carrés magiques d’ordre 3.

À partir de 1971, une ou deux fois par année, j’allais à Montréal pour acheter des livres de mathématiques. La plupart des livres étaient en anglais. Mais cela ne me rebutait pas. Dans les années 1970, les livres étaient peu chers. Il n’était pas rare de trouver des livres pour moins de 2 $. Au fil des ans, j’ai garni ma bibliothèque si bien qu’aujourd’hui je possède 1247 livres de mathématiques. Au moins 70 % sont en anglais. Une partie de ces livres présentent des problèmes récréatifs et font l’analyse de situations mathématiques autant dans les récréations que dans les jeux et les solitaires.

C’est en m’inspirant du contenu de ces livres que j’ai pu écrire mon Dictionnaire de mathématiques récréatives. Je l’ai terminé en 1996, soit deux ans avant l’arrivée de Google.

Depuis que j’ai découvert les mathématiques récréatives, je n’ai pas cessé de m’y consacrer. Je me souviens de cet ingénieur français qui m’a confié avoir découvert, par le biais de mon site, les mathématiques récréatives à l’âge de 82 ans. Je suis comblé par l’intérêt manifesté puisque Récréomath accueille en moyenne 2000 visiteurs par jour. 

# 484               12 mai 2014

Les mathématiques récréatives

Souvent on me demande ce que sont les mathématiques récréatives. Même, un jour, un professeur en mathématiques d’université m’a posé cette question. Quand j’étais étudiant, aucun enseignant ne m’a parlé de cette « science ». Pourquoi ? Parce que le concept de mathématiques récréatives n’était pas encore défini. C’est à cette tâche que je me suis attelé par mes écrits en mathématiques. Il a fallu d’abord recueillir les matériaux épars, les regrouper et les classer. Cela a donné le Dictionnaire de mathématiques récréatives qui a été publié dans Récréomath.

Quels sont ces matériaux épars ? Ce sont principalement des problèmes qui nécessitent des concepts et des outils mathématiques variés pour les résoudre. Ces problèmes ont des propriétés différentes de ceux qu’on retrouve dans les manuels scolaires. Ils ne sont pas reliés à une notion spécifique ni à une stratégie de résolution précise. On le sait, les livres scolaires de mathématiques regroupent des milliers de problèmes encadrés par la théorie. Par exemple, l’enseignant présente aux élèves le théorème de Pythagore et montre comment s’en servir. Suivent des problèmes sur le sujet. Ce sont des problèmes d’application et ne peuvent pas être classés comme récréatifs.

Les problèmes récréatifs, aussi appelés récréations mathématiques, arrivent de nulle part. Ils doivent piquer la curiosité et provoquer le goût de les résoudre. La démarche pour y arriver doit être inventée ou puisée dans son expérience de résolution. Dans le passé, des problèmes récréatifs ont été à l’origine de nouveaux domaines mathématiques. En 1736, Leonhard Euler a posé un problème demandant de tracer un itinéraire permettant de traverser une et une seule fois chacun des sept ponts qui entouraient Königsberg. Ce problème a été à l'origine de la théorie des graphes. Les échanges épistolaires ont notamment été un instrument privilégié qui a permis le développement des mathématiques récréatives.

Les mathématiques récréatives incluent aussi l’analyse de jeux et de solitaires. Par ailleurs, elles ont certains objets propres comme les carrés magiques, les carrés latins, certaines classes de nombres entiers, différentes formes de casse-tête, les parcours de pièces sur des tabliers comme le cavalier aux échecs, etc.

Les récréations mathématiques sont imaginées dans l'optique de procurer un défi à la perspicacité, à l'astuce, à l'intuition ou à la logique. Cette notion de récréation est relative. Un problème peut être sans intérêt pour une personne alors que pour d’autres, c’est un défi agréable à relever. Par exemple, la récréation suivante devient un exercice pour une personne familière avec l’algèbre. « Albert et Berthe ont 34 pommes ensemble. Berthe et Carole en ont 54. Albert et Carole en ont 46. Combien les trois amis ont-ils de pommes ensemble ? » Par l’approche algébrique, il suffit d’écrire les équations et de faire les calculs appropriés.

Vous avez maintenant une petite idée de ce que peuvent être les mathématiques récréatives.

# 414               12 avril 2014
La date de Pâques
C’est au concile de Nicée en 325 que l’Église décida qu’à l’avenir Pâques aurait lieu le premier dimanche suivant la pleine lune, soit celle qui arrive après l’équinoxe du printemps. Cet équinoxe a été fixé au 21 mars. D’une année à l’autre, la date de Pâques est donc variable. Elle s’étend sur une période de 35 jours. Au plus tôt, Pâques arrive le 22 mars et au plus tard, le 25 avril. Cette année, en 2014, la pleine lune de mars a été le dimanche 16 et celle d’avril sera le mardi 15. Pâques sera donc célébrée le dimanche 20 avril.

Au 20^e siècle, la fête est arrivée trois fois  le 20 avril : 1919, 1924 et 1930. Pendant 73 ans, il n’y a pas eu de Pâques ce jour-là. Au 21^e siècle, la fête arrive cinq fois : 2003, 2014, 2025, 2087 et 2098. Si vous êtes né entre 1930 et 2003, c’est la deuxième fois que vous vivrez cette fête le 20 avril.

Des mathématiciens ont mis au point des formules pour trouver la date à laquelle est célébrée la fête de Pâques pour une année donnée.  L’Allemand Carl Friedrich Gauss (1777-1855) a imaginé la formule ci-après qui a été adaptée pour les années 1900 et 2000.

Soit m l'année, pour trouver la date de Pâques, on calcule successivement.

1. le reste de m/19 : c’est la valeur de a.

2. le reste de m/4 : c’est la valeur de b.

3. le reste de m/7 : c’est la valeur de c.

4. le reste de (19 × a + 24)/30 : c’est la valeur de d.

5. le reste de (2 × b + 4 × c + 6 × d + 5)/7 : c’est la valeur de e.

La date de Pâques est le (22 + d + e) mars ou le (d + e - 9) avril. Voici deux exemples : 

En 2015, on trouve : a = 1, b = 3, c = 6, d = 13, e = 1.  Dans le premier cas, Pâques aurait lieu le (22 + 13 + 1) = 36 mars. Dans le second cas, Pâques aurait lieu le (13 + 1 – 9) = 5 avril. C’est le second cas qu’il faut retenir.

En 2016, on trouve : a = 2, b = 0, c = 0, d = 2, e = 3.  Dans le premier cas, Pâques aurait lieu le (22 + 2 + 3) = 27 mars. Dans le second cas, Pâques aurait lieu le (2 + 3 – 9) = -4 avril. C’est le premier  cas qu’il faut retenir.

Pour trouver le reste avec une calculatrice, voici un truc :
Soit à diviser 2015 par 19. On fait : 2015 ÷ 19 = 106,0526316. On soustrait la partie entière qui est 106. Le résultat est 0,0526316. On multiplie par 19, soit le diviseur. On arrondit au besoin le résultat. C’est le reste qui est 1 dans ce cas.

Joyeuses Pâques !

# 357               21 mars 2014
L’équinoxe du printemps
Quand nous allions à l’école, on nous enseignait que le printemps arrivait le 21 mars. Selon les calculs des mathématiciens, cet événement s’étale sur trois jours : 19, 20 et 21 mars. C’est quand même une courte période si on considère que Pâques s’étale sur 35 jours, soit du 22 mars au 25 avril.

Le premier jour du printemps arrive le jour où la journée et la nuit ont presque la même durée. On appelle cela l’équinoxe du printemps, d’après l’étymologie latine du terme équinoxe (égales – nuits). Comme l’année astronomique (365,24 jours) n’a pas la même longueur que l’année du calendrier (365 jours ou 366 jours tous les quatre ans), la date de la fin de l’hiver est variable.

Depuis le début du 21^e siècle, le printemps est arrivé le 21 mars seulement deux fois : en 2003 et en 2007. Il ne se produira plus pendant ce siècle. En effet,  le prochain rendez-vous du printemps le 21 mars est en 2102, soit dans 88 ans.

De 2014 à 2043, le printemps arrivera toujours le 20 mars. En 2044, ce sera le 19 mars. La dernière fois que cela est arrivé le 19 mars, c’est en 1796, soit il y a 208 ans. Cela induit que pendant les 19^e et 20^e siècles, le printemps n’a jamais pointé son nez le 19 mars. Voici la répartition du nombre d’années pendant six siècles où l’équinoxe du printemps se produit  respectivement les 19, 20 ou 21 mars :

19 mars