# 7155             1^er mai 2024

Multiplication par 22

Comment trouver le produit d’un nombre multiplié par 22 sans effectuer leur multiplication ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On multiplie par 2.

• On ajoute un 0 à la fin.

• On additionne le nombre choisi.

Soit à trouver le produit de 37 et de 22. On fait : 37 × 2 = 74.  On écrit 740. On fait : 740 + 74 = 814. Le produit est 814.

# 7154             1^er mai 2024

Multiples de 7

Comment trouver un multiple de 7 sans effectuer de multiplication par 7 ?

Étapes

• On choisit un nombre de deux chiffres identiques.

• On prend comme centaine un autre chiffre telle que la somme des trois chiffres est divisible par 7.

Soit 55 le nombre choisi. On écrit 55, puis 4 car 5 + 5 + 4 = 14. Le nombre 455 est un multiple de 7.

# 7153             1^er mai 2024

Divisibilité par 8

Comment ajouter des chiffres à un nombre pour que le nouveau nombre soit divisible par 8 ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On multiplie par 4 un chiffre choisi : le chiffre choisi est la centaine du nombre ajouté.

• On multiplie par 2 un autre chiffre choisi : le chiffre choisi est la dizaine du nombre ajouté.

• On choisit un chiffre tel que la somme des deux résultats et de ce chiffre est un multiple de  8 : c’est l’unité du nombre ajouté.

Soit 391 le nombre choisi et successivement 5, 7, 6. On fait : 5 × 4 = 20, 7 × 2 = 14. La somme est 34. On choisit 6 car la somme est alors 40 qui est un multiple de 8. Le nombre 391 576 est divisible par 8.

# 7152             1^er mai 2024

Six carrés

Comment trouver trois carrés dont la somme est égale à celle de trois carrés ?

Étapes

• On choisit un nombre.

• On écrit le nombre choisi et on additionne successivement 7, 1 au résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On additionne les trois nombres et on multiplie par 2/3.

 • Du résultat, on soustrait successivement les trois nombres : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit 8 le nombre choisi. On écrit 8, 15, 16. La somme est 39. On fait : 39 × 2/3 = 26, 26 – 8 = 18, 26 – 15 = 11 et 26 – 16 = 10. L’égalité est : 8² + 15² + 16² = 10² + 11² + 18² = 545.

# 7151             1^er mai 2024

Huit carrés

Comment trouver quatre carrés dont la somme est égale à celle de quatre carrés ?

 Étapes

• On écrit une suite de quatre termes.

• On additionne successivement un même nombre à chaque terme du quadruplet précédent jusqu’à ce qu’on ait 16 termes.

• On prend les termes de rangs 2, 8, 9, 15 : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On prend les termes de rangs 3, 5, 12, 14 : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

La suite est : 4, 7, 10, 13. On additionne 14. Les termes suivants sont 18, 21, 24, 27, puis 32, 35, 38, 41, puis 46, 49, 52, 55. L’égalité est : 7² + 27² + 32² + 52² = 10² + 18² + 41² + 49² = 4506.

# 7150             1^er mai 2024

Onze carrés

Comment trouver cinq carrés dont la somme est égale à celle de six carrés ?

 Étapes

• On prend 0.

• On additionne successivement 6, 3, 3, 2, 2 au résultat précédent : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On écrit 3 et on additionne successivement 2, 2, 3, 3, 6 au résultat précédent  : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

On écrit  6, 9, 12, 14, 16, puis 3, 5, 7, 10, 13, 19. L’égalité est : 6² + 9² + 12² + 14² + 16² = 3² + 5² + 7² + 10² + 13² + 19² = 713.

# 7149             1^er mai 2024

Seize carrés

Comment trouver huit carrés dont la somme est égale à celle de huit carrés ?

 Étapes

• On écrit une suite de huit termes.

• On choisit un nombre.

• On additionne ce nombre à chacun des termes de la suite.

• On prend les termes de rangs 1, 4, 6, 7, 10, 11, 13, 16 : ce sont les bases du premier membre de l’égalité.

• On prend les autres termes : ce sont les bases du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 2 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit la suite : 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22. On additionne 25. On a 26, 29, 32, 35, 38, 41, 44, 47. L’égalité est : 1² + 10² + 16² + 19² + 29² + 32² + 38² + 47² = 4² + 7² + 13² + 22² + 26² + 35² + 41² + 44² = 6236.

# 7148             1^er mai 2024

Cube d’un nombre

Comment trouver un cube sans élever au cube ?

Étapes

• On choisit deux nombres consécutifs.

• On multiplie chaque nombre par son successeur et on divise par 2.

• On élève au carré chaque résultat.

• On soustrait l’un de l’autre les deux carrés.

Soit 11 et 12 les nombres choisis. On fait : (11 × 12)/2 = 66, (12 × 13)/2 = 78, 78² – 66² = 1728. Le nombre 1728 est un cube, celui de 12.

# 7147             1^er mai 2024

Addition de deux cubes consécutifs

Comment trouver la somme de deux cubes consécutifs sans élever au cube ?

Étapes

• On multiplie la plus grande base par son successeur et on divise par 2.

• On élève au carré.

• On multiplie la plus petite base par son prédécesseur et on divise par 2.

• On élève au carré.

• On soustrait l’un de l’autre les deux carrés.

Soit à calculer 8³ + 9³. On fait : 9 × 10 ÷ 2 = 45, 45² = 2025, 8 × 7 ÷ 2 = 28, 28² = 784, puis 2025 – 784 = 1241. La somme est 1241.  

# 7146             1^er mai 2024

Huit cubes

Comment trouver quatre cubes dont la somme est égale à celle de quatre cubes ?

 Étapes

• On écrit deux quadruplets : 2, 8, 9, 15 et 3, 5, 12, 14.

• On choisit un polynôme en n du premier degré.

• On attribue à n les valeurs des quadruplets : les quatre premiers résultats sont les bases du premier membre de l’égalité et les autres celles du deuxième membre.

• On ajoute l’exposant 3 à chaque base pour obtenir l’égalité.

Soit le polynôme (2a – 1). On obtient : 3, 15, 17, 29, puis 5, 9, 23, 27. L’égalité est : 3³ + 15³ + 17³ + 29³ = 5³ + 9³ + 23³ + 27³ = 32 704.