# 3375                 14 janvier 2017

Un géoplan

Le géoplan est un outil didactique. Sur une planche de bois ou de plastique, des clous sont fixés à égale distance l’un de l’autre autant horizontalement que verticalement. À l’aide d’élastiques, on peut illustrer différentes figures géométriques.

Dans le géoplan, on peut considérer une grille 3 × 3. On peut demander, par exemple, le nombre de carrés qu’il est possible de former. La réponse est 6. En voici l’illustration :

Voici le nombre possible pour chacune des figures suivantes :

• Triangles isocèles : 36

• Triangles rectangles non isocèles : 16

• Autres triangles : 24

• Nombre total de triangles : 76

• Carrés : 6

• Rectangles : 4

• Parallélogrammes : 12

• Trapèzes rectangles : 24

• Trapèzes non rectangles : 4

• Cerfs-volants : 4  Voir http://www.recreomath.qc.ca/dict_cerf-volant.htm 

• Flèches : 8            Voir http://www.recreomath.qc.ca/dict_fleche.htm

• Autres quadrilatères convexes : 16

• Autres quadrilatères concaves : 16

• Nombre total de quadrilatères : 94

On peut se servir du papier pointé aux mêmes fins.

# 3310                 19 décembre 2016

L'apprentissage de la mesure à l'école

Je vous livre un article que j’ai écrit pendant l’année scolaire 1996-1997. Il a été publié en mars 1999 dans la revue Envol du GRMS, l’association des responsables de mathématiques au secondaire. Cet article a été controversé. Ce ne sont pas tous les enseignants de mathématiques qui conçoivent ainsi la mesure. Toutefois, mon objectif n’était pas de modifier radicalement les habitudes, mais de permettre une réflexion sur le sujet. Je ne voulais pas imposer cette approche. Voici cet article :

* * * * * * * *

La mesure prend une place importante dans les programmes de mathématique. Au primaire, elle constitue un des cinq thèmes du programme et inclut des cas simples de probabilité et de statistique. Au secondaire, la mesure est associée à la géométrie et apparaît dans les objectifs portant sur les figures planes ou les solides. Elle est aussi considérée en probabilités et en statistiques. En dehors de la mathématique, elle apparaît dans de nombreuses situations. En effet, toutes les disciplines ont recours à la mesure. Pensons aux sciences de la nature, aux sciences humaines, aux arts plastiques, à la musique et à l'éducation physique.

La géométrie et la mesure

Le mot géométrie est d'origine grecque. Il provient de geo qui veut dire terre et de metrie qui signifie mesure. La géométrie, mesure de la terre, est née et s'est développée au cours des siècles pour répondre aux besoins quotidiens reliés à la mesure. Par la suite, cette discipline est devenue de plus en plus formelle. Cette évolution a entraîné que la mesure a perdu son titre. Au lieu d'être la reine de la géométrie, elle en est devenue la servante. En même temps, le concept primitif attribué à la mesure s'est quelque peu étiolé. Il s'avère donc important d'amorcer une réflexion sur le sujet afin de redonner à la mesure sa vraie place en fonction des objectifs généraux ou globaux des programmes de mathématique. Le présent document présente le concept de la mesure et les conséquences didactiques reliées à ce concept.

Le comptage

Dans la vie courante et en mathématique élémentaire, mesurer c'est compter des unités dites unités de mesure. Quand on compte, on associe, à partir de 1, un nombre naturel consécutif à chaque objet ou élément. Un panier contient 15 oranges. Pour connaître la mesure de la quantité, je peux les compter: 1, 2, 3, ... , 13, 14, 15. L'unité de mesure est alors une orange ou l'orange-unité.

Si un ruban mesure 10 centimètres, c'est que sa longueur est la même que 10 rubans d'un centimètre. Demander cent dollars, c'est demander cent pièces d'un dollar. Toutefois, dans la pratique, personne n'aimerait avoir dix rubans d'un centimètre de longueur ou cent pièces d'un dollar. L'unité de mesure est généralement 1 mais elle peut correspondre à n'importe lequel nombre. Par exemple, les œufs se vendent à la douzaine.

Les instruments de mesure

L'apparition des instruments de mesure a considérablement diminué les opérations de comptage. Si on veut mesurer la longueur d'un crayon avec une règle graduée, on n'a qu'à placer le 0 de la règle à une extrémité du crayon et à lire sur la règle à l'autre extrémité. La règle est munie d'un système de comptage. Par ailleurs, quand on utilise un instrument électronique de mesure, on n'a qu'à lire un nombre sur un écran. Dans sa structure interne, l'instrument possède également un système de comptage. Comme conséquence, l'utilisation d'instruments de mesure nous éloigne du concept primitif de mesure qui est associé à l'opération de comptage.

Le calcul

Il existe un grand nombre de situations, en mathématique, où le comptage est remplacé par le calcul. Cela est dû au fait que la mesure exigerait trop de temps ou qu'elle serait impossible à établir.

Calculer, c'est effectuer une ou des opérations mathématiques sur des nombres de façon à obtenir un résultat numérique. Un panier contient 15 oranges. Pour connaître la mesure de la quantité, on peut réaliser des groupes de trois oranges en les comptant, compter le nombre de groupes et faire un calcul qui revient à multiplier 3 par 5. Dans cet exemple, on se sert à la fois du comptage et du calcul.

Quand on fait appel au calcul, on applique généralement une formule. Si elle est adéquatement choisie, elle engendre une mesure fiable. Toutefois, l'application d'une formule peut détourner l'élève du concept de mesure. Aussi, il faut toujours revenir au sens de la mesure et de l'unité de mesure.

Mesurer, c'est quoi ?

Mesurer, c'est donc déterminer la valeur d'une quantité à partir d'une quantité de même nature prise pour unité. Par exemple, quand Natacha dit : ce panier contient 15 pommes, elle indique la quantité de pommes du panier à partir d'une pomme qui en est l'unité de mesure. La quantité s'exprime par un nombre naturel. La mesure est alors dite exacte, parce que les unités ne peuvent pas être fragmentées ou coupées. La quantité d'élèves d'une polyvalente ne peut pas s'exprimer autrement que par un nombre naturel. En mathématique, on dit qu'une telle quantité est discrète.

Mesurer, c'est aussi déterminer la valeur d'une grandeur à partir d'une grandeur de même nature prise pour unité. Par exemple, quand Martin dit: ce ruban mesure 10,8 centimètres, il indique la grandeur du ruban à partir du centimètre qui en est l'unité. La grandeur s'exprime par un nombre réel. La mesure est alors dite correcte et non exacte. En effet, d'une part les unités peuvent être fragmentés ou coupées et d'autre part la limite de la graduation des instruments de mesure ne permet pas une lecture exacte de la mesure. Par exemple, le ruban de Martin pourrait tout aussi bien mesurer 10,792 ou 10,808 centimètres approximativement. En mathématique, on dit qu'une telle grandeur est continue.

Sens de l'unité de mesure

Quand on mesure une quantité d'objets, l'unité de mesure est généralement l'objet-unité. De même, quand on mesure une grandeur, l'unité de mesure a une signification particulière. Un segment mesure 5 centimètres. Cela signifie que la mesure du segment est de 5 unités de longueur qui est le centimètre. L'aire d'un terrain mesure 6000 mètres carrés. Cela signifie que la mesure de l'aire est de 6000 carrés d'un mètre de côté. L'aire est donc exprimée en carrés-unités construits sur les unités de longueur. Le volume d'un cube est de 12 centimètres cubes. Cela signifie que la mesure du volume est de 12 cubes d'un centimètre d'arête. Le volume est donc exprimé en cubes-unités construits sur les unités de longueur. La vitesse d'un mobile est de 50 kilomètres à l'heure. Cela signifie que le mobile animé d'un mouvement uniforme parcourt une longueur de 50 kilomètres en une heure.

L'unité de mesure peut être conventionnelle ou pas. Elle est conventionnelle lorsque l'étalon ou le modèle servant à la définir est normalisé. Elle est aussi conventionnelle lorsqu'elle est un multiple ou bien un sous-multiple d'une unité normalisée. Dans ce cas, les unités forment un système. Il en est ainsi des unités du SI ou des unités anglo-saxonnes.

Dans le cas contraire, elle est dite non conventionnelle. Quand Julie dit que la largeur du tableau mesure 40 longueurs d'une craie, elle utilise la longueur de la craie comme étant une unité non conventionnelle. Mesurer la longueur d'un tapis avec un ruban de cinq centimètres, c'est utiliser une unité non conventionnelle. De même, le segment-unité, qui est un segment pris comme unité de mesure, est une unité non conventionnelle.

Le concept de mesure est donc essentiellement formé à partir du comptage. Les opérations consistent à mesurer (sans l'aide d'un instrument de mesure), à effectuer une mesure (avec l'aide d'instruments de mesure) et à calculer une mesure (à l'aide généralement de formules). Au primaire, l'attention est portée principalement à mesurer et à effectuer une mesure; tandis qu'au secondaire, c'est la mesure avec des instruments et le calcul de la mesure qui sont privilégiés.

Les grandeurs

Si je demande à un élève de mesurer le tableau, que fera-t-il ? Si je lui demande de mesurer un carré, que fera-t-il ? Ces deux questions manquent, en effet, de clarté. Il faut donc préciser des attributs de l'objet ou de la figure à mesurer. Ces attributs sont appelés grandeurs. On pense alors à la longueur, à l'aire, au volume, à l'angle, à la durée, à la masse, à la vitesse, à la température. Il faudra donc dire, par exemple, en relation avec les deux questions posées : Mesure la longueur du tableau ou l'aire du carré.

De toutes les grandeurs, le terme longueur est particulier. Il est d'abord défini comme mesurant une figure à une dimension, soit une ligne. Lorsqu'il s'agit de deux ou trois dimensions, la longueur est parfois la grandeur la plus étendue. Ainsi, dans un rectangle de 10 centimètres par 12 centimètres, on dira que la longueur est de 12 centimètres. La longueur, la largeur, la hauteur, l'épaisseur, la profondeur expriment des longueurs. Chaque terme sert à préciser un aspect de la figure ou de l'objet.

La mesure d'une grandeur: un nombre

Si mesurer, c'est compter, cela entraîne que la mesure d'une grandeur est un nombre. Dans ce contexte, il faut établir la distinction entre chiffre et nombre.

Un chiffre est un symbole, un dessin, un caractère, comme les lettres. Il y a dix chiffres. Un nombre est formé d'un ou plusieurs chiffres. Chacun des chiffres a une valeur particulière selon sa position. Un nombre fait référence à un ensemble d'unités. Le nombre peut être comparé à un mot qui a un sens particulier selon la disposition des lettres. Ainsi MARE, RAME et AMER sont trois mots différents, ayant toutefois les mêmes lettres.

Le nombre qui exprime la mesure donne la grandeur de l'objet mesuré ou de la figure mesurée. Si on demande la mesure d'une grandeur d'une figure ou d'un objet, on veut savoir combien d'unités de cette grandeur sont nécessaires pour couvrir la figure ou l'objet.

Langage et notation

En langage mathématique, il est important de toujours introduire l'expression mesure de devant une grandeur. On doit dire: la mesure de l'aire et non l'aire, la mesure du volume et non le volume, la mesure de la longueur de la médiane et non la médiane. Dans ce dernier cas, comme la médiane n'est pas une grandeur, il faut spécifier la longueur de la médiane.

Dans le langage courant, on peut dire: ce segment mesure 10 centimètres. On assimile alors grandeur et mesure de cette grandeur. En langage mathématique, comme la mesure est un nombre, on doit distinguer la grandeur de sa mesure. Il faudra dire: la mesure en centimètres de ce segment est de 10.

De même, en langage courant, on peut dire: ce losange mesure 25 centimètres carrés. En mathématique, il faudra dire: la mesure en centimètres carrés de l'aire de ce losange est de 25.

Certains manuels emploient m pour mesure. Ce choix n'est pas très judicieux, car m est le symbole de mètre. Il risque de provoquer des ambiguïtés, surtout si on place les unités de mesure en indice.

Le fait de placer à gauche l'unité de mesure permet de respecter le concept de mesure et d'amener l'élève à considérer la mesure comme étant un nombre. Si l'élève est obligé d'annoncer l'unité, c'est qu'il doit d'abord mentalement identifier cette unité. En effectuant cette tâche, il ne sera pas à la remorque d'opérations sur les unités.

Choix du langage

En classe, l'enseignante ou l'enseignant de même que l'élève peuvent verbalement utiliser le langage courant. Il serait toutefois de bon aloi d'avoir recours le plus souvent possible à la formulation mathématique afin d'aider l'élève à conserver le concept de la mesure.

Par ailleurs, les problèmes sont formulés en langage courant. Dans sa démarche de résolution, l'élève devrait s'habituer à s'exprimer en langage mathématique. Cette façon de faire ne devrait pas toutefois l'empêcher d'exprimer sa réponse en donnant les unités, s'il y a lieu.

Les opérations

Certaines opérations sur la mesure des grandeurs ont un sens; d'autres pas. Quand elles ont un sens, elles se font sur les nombres qui indiquent leur mesure. Ainsi, on peut additionner les mesures de deux longueurs ayant la même unité de mesure. Le résultat est alors une mesure ou un nombre qui exprime une longueur. Toutefois, il ne faudrait pas écrire 10 cm + 5 cm, par exemple.

Le produit de deux mesures de longueur est possible: cela donne la mesure de l'aire. Il s'agit, en fait, du produit d'un nombre qui exprime la longueur et d'un autre qui exprime la largeur. Par contre, on ne peut pas multiplier les mesures de deux aires. En effet, il n'existe pas une grandeur associée à ces opérations. C'est pour cela qu'on dit que le produit des mesures des deux aires n'a pas de sens.

Il est donc important de toujours se demander si les opérations effectuées sur les nombres ont un sens et par la suite quelle unité on va retenir. Évidemment, quand on applique une formule, ces deux questions sont résolues au départ. Les opérations ont un sens et l'unité de mesure est connue.

Les considérations précédentes permettent d'établir qu'aucune opération ne devrait être effectuée sur les unités de mesure. En d'autres mots, on ne peut pas additionner, soustraire, multiplier, diviser ou élever à une puissance des unités de mesure. À cet égard, dans les guides pédagogiques en mathématique au secondaire, les auteurs écrivent : « (Les symboles d'une unité de mesure) représentent des quantités physiques et se comportent comme des variables. On peut les multiplier, les diviser, les élever à une puissance. »

Cette règle réduit l'apprentissage de la mesure à l'application d'une mécanique qui n'est soutenue d'aucune façon par le sens à donner à la mesure et à l'unité. En appliquant la recommandation du document, on n'a qu'une apparence de vérité. En effet, le produit (résultat) s'avère exact. Mais, on propose un procédé qui ne favorise pas la compréhension.

Des illustrations

En effectuant des opérations sur les unités de mesure, il peut arriver à l'élève de faire des erreurs. S'il n'a pas le réflexe d'associer une unité de mesure à une grandeur, alors il donnera une fausse unité. Les trois situations suivantes permettent de voir comment l'élève doit traiter les unités de mesure dans la résolution de problèmes.

1. On veut trouver la mesure de l'aire d'un rectangle de 10 centimètres de longueur et de 5 centimètres de largeur. On ne doit pas écrire: 10 cm × 5 cm. De plus, on ne doit pas multiplier cm par cm. On doit savoir que l'unité de la mesure qui en résultera est le centimètre carré. Toute autre appellation aurait pu d'ailleurs être choisie pour désigner cette unité.

2. La vitesse moyenne d'un mobile est évaluée à 80 kilomètres à l'heure. Le temps de déplacement est de 5 heures. Pour déterminer la distance parcourue, on ne doit pas écrire: 80 km/h × 5 h = 400 km. En plus, on ne doit pas simplifier le h. L'élève doit savoir que la distance sera donnée en kilomètres.

3. On veut connaître le rapport entre deux mesures de longueur: 10 mètres et 2 mètres. On ne doit pas écrire: 10 m /2m. En plus, on ne doit pas simplifier le m. L'élève applique la notion de rapport qui est une façon de comparer deux grandeurs en les écrivant sous forme d'une fraction sans unité de mesure. On ne peut comparer que des grandeurs de même unité de mesure. Il existe des situations analogues par rapport aux quantités. Je sais que Paul a 15 pommes et que Julie en a 5. Si je veux savoir combien de fois Paul a plus de pommes que Julie, je ne simplifie pas les pommes.

Conclusion

Puisque le concept primitif de mesure correspond à une opération de comptage, il faut dans la résolution de problèmes habituer l'élève à exprimer d'abord les unités et à faire les opérations sur les nombres. En aucun cas, des opérations sur les unités ne doivent être effectuées. En agissant ainsi, on préserve le vrai sens de la mesure. De plus, l'élève devra être capable d'associer une unité de mesure à une grandeur. Autrement, on favorise une approche trop mécanique qui donne toute la place au produit (résultat) et qui néglige le processus.

Dans cette optique, il faudrait que l'application d'une formule se fasse à partir du moment où l'élève a bien compris son origine. En tout temps, il faudrait que l'élève puisse retrouver une formule et y associer les bonnes unités de mesure. Ce sont là des approches qui favorisent la résolution de problème.

Références bibliographiques

Baruk, Stella. Dictionnaire de mathématiques élémentaires. Seuil, 1992.

Ministère de l'Éducation du Québec. Programme d'études, Primaire Mathématique. 1980.

Ministère de l'Éducation du Québec. Guide pédagogique, Mathématique, Primaire, Mesures. 1980.

Ministère de l'Éducation du Québec. Guide pédagogique, Mathématique, Secondaire, Premier cycle. 1981.

Ministère de l'Éducation du Québec. Guide pédagogique, Mathématique, Secondaire, second cycle, Fascicule B, La géométrie. 1984.

Ministère de l'Éducation du Québec. Programmes d'études, Mathématique 116, 1993.

Therrien, Denis. La didactique de la mathématique. Presses Inter Universitaires, 1994.

# 3255                 27 novembre 2016

Triangles rectangles

Dans cet article, nous vous présentons un procédé pour trouver au moins deux triangles rectangles dont les côtés de l’angle droit ont des mesures entières et dont l’hypoténuse est la même, mais pas nécessairement un entier.

Pour ce faire, on choisit deux carrés. Par exemple, 2² et 3². La somme est 13. On choisit à nouveau deux autres carrés. Par exemple, 4² et 5². La somme est 41. On multiplie les deux sommes : 13 × 41 = 533. Nous allons montrer comment trouver deux couples de carrés d’entiers dont la somme est 533.

On peut disposer les nombres en tableaux et faire les opérations indiquées.

Les valeurs munies de la même lettre résultent d’opérations de signes contraires à partir des produits obtenus dans les premières colonnes. De A, on tire : 2² + 23² = 533. De B, on tire : 7² + 22² = 533.

L’hypoténuse du triangle rectangle mesure 23,1 unités et les côtés de l’angle droit 2 et  23 unités ou encore 7 et 22 unités.

On peut démontrer que cette façon de procéder est valide en décomposant le produit de chacun de la somme des couples. En effet, (a² + b²)(c² + d²) = (ac + bd)² + (ad – bc)² = (ac – bd)² + (ad + bc)².

# 3145                 14 octobre 2016

Le premier traité d’arithmétique

Au Québec, sous le Régime français, aucun livre n’est publié. À cette époque, les colonies françaises n’ont pas le droit d’acheter des presses. Tout doit être imprimé en France. Les élèves utilisent des manuels écrits dans la mère patrie ou dans d’autres colonies françaises.

Avec le Régime anglais, le Québec peut se munir de presses. Selon un collectif des Presses de l’Université du Québec publié en  2007 sous le titre Le manuel scolaire : d'ici et d'ailleurs, d'hier à demain, les premiers manuels scolaires publiés et écrits au Québec sont dans les disciplines suivantes :

1778 : Grammaire française

1796 : Grammaire latine

1800 : Lecture française

1804 : Géographie générale

1809 : Arithmétique et Histoire de l’Antiquité

1810 : Français, langue seconde

1811 : Anglais, langue seconde

1824 : Astronomie

1827 : Trigonométrie

1835 : Philosophie

Le premier manuel scolaire d’arithmétique a été écrit par Jean-Antoine Bouthillier et édité par John Neilson en 1809. Son titre était : Traité d’arithmétique pour l’usage des écoles. Il a été réédité en 1829. Il comptait alors 144 pages.

Voici ce qu’on écrit en mai 1840 dans le Bulletin des recherches historiques : 

« Nos écoliers et ceux qui veulent se perfectionner en arithmétique ont maintenant à leur disposition une bonne douzaine de traités canadiens sans compter ceux que les libraires importent d’Europe. Il n’en était pas de même au début du siècle dernier. Jean-Antoine Bouthillier, l’auteur de Traité d’arithmétique pour l’usage des écoles, publié à Québec en 1809 disait dans sa préface : « La rareté des livres de cette espèce dans ce pays à fait que jusqu’à présent les maîtres d’écoles ont été obligés de faire copier les principes de l’arithmétique et des règles quelquefois d’une longueur extraordinaire, dans des cahiers, ce qui occasionne une perte de temps considérable. Cet ouvrage pourra remédier à cet inconvénient. » Le Traité de M. Bouthillier fut le seul manuel d’arithmétique de plusieurs générations d’écoliers. […]

La Gazette de Québec, en annonçant la mort de M. Bouthillier (en 1835) prenait la peine de noter que son Traité d’arithmétique était encore le seul du genre en langue française dans tout le pays. » (Fin du texte cité)

Un détail étonnant. Presque tous les noms communs sont précédés d’une majuscule. Ainsi, on peut lire le problème suivant dans son intégralité : « Une Bande de Voleurs composée de 23 personnes, y compris le Capitaine et le Second, ayant volé une Somme de 4536 Livres, le Capitaine partage la Somme en 12 parties égales, dont il prend 3 pour sa part, le Second 2, et le reste se partage également entre les autres Voleurs. Quelle est la part de chacun ? »

# 3105                 28 septembre 2016

Bœuf ou renard

Certains problèmes exigent des stratégies diverses. L’objectif est toujours de choisir une façon de procéder qui exige le moins d’opérations et qui produit le moins d’erreurs. Voici un exemple de problème simple :

Additionnez les nombres de cette grille.

Premier procédé. On additionne pas à pas dans l’ordre habituel de lecture : 1 + 2 = 3, 3 + 3 = 6, 6 + 4 = 10, 10 + 5 = 15, 15 + 6 = 21, 21 + 2 = 23, 23 + 3 = 26, etc. La somme est 216. Cela exige 35 opérations. Il y a de fortes chances qu’on fasse des erreurs de calcul. On pourrait appeler cette façon de procéder « méthode du bœuf ».

Deuxième procédé. On additionne pas à pas mais ligne par ligne. Les résultats successifs par ligne sont 21, 27, 33, 39, 45, 51. On additionne pas à pas les nouveaux résultats. Cela exige aussi 35 opérations.

Troisième procédé. On additionne d’abord les nombres extrêmes des lignes 1 et 6 : 1 + 11 = 12, 2 + 10 = 12, 3 + 9 = 12, etc. La somme des nombres des deux lignes est 12 × 6 = 72. On fait de même avec les lignes 2 et 5, puis 3 et 4. Dans chaque rangée de deux lignes, la somme est aussi 72. On fait : 72 × 3 = 216. Cela exige 20 opérations. Il y a beaucoup moins d’opérations. Elles sont simples et le risque d’erreur est extrêmement faible.

Quatrième procédé. La somme des nombres extrêmes sur les lignes (1, 6), (2, 5) et (3, 4) est 12. Il y a 6 sommes par rangée de deux lignes. On fait : 6 × 3 = 18, ce qui donne le nombre de cas où la somme est 12. On fait : 18 × 12 = 216. Cela exige 8 opérations.

Cinquième procédé. Il y a 36 cases. La somme des nombres extrêmes des lignes extrêmes est 12. On fait 12 ÷ 2 = 6. La moyenne par case est 6 On fait : 36 × 6 = 216. On pourrait appeler cette façon de procéder « méthode du renard ». Cela exige le survol de la grille et 4 opérations. Le danger ici c’est de faire un mauvais raisonnement. D’ailleurs, 216 = 6³.

Lorsque le nombre de lignes (ou de colonnes) de la grille carrée est impair, il faut adapter certains procédés donnés. Pourriez-vous trouver la somme des nombres de la grille 7 × 7 suivante ?

La somme est 7³, soit 343.

# 3080                 18 septembre 2016

Pensées sur le carré

Il existe deux sortes de carré : le carré arithmétique et le carré géométrique.

1. Le carré arithmétique

Quand on multiplie un nombre par lui-même, on obtient le carré de ce nombre. Par exemple, le carré de 5 est 25, car 5 × 5 = 25.

Au lieu de multiplier, on peut obtenir un carré par l’addition de nombres impairs consécutifs à partir de 1. Par exemple, 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25. Il y a cinq termes dont la somme est 25.

2. Le carré géométrique

C’est une figure dont les quatre côtés sont égaux et dont les quatre angles ont chacun un angle de 90 degrés. Une grille carrée 5 × 5 est formée de 25 petits carrés.

Selon la couleur, à partir du bas à gauche, on peut compter 1, 3, 5, 7 et 9 petits carrés. Cela montre les relations étroites qui existent entre le carré arithmétique et le géométrique.

Conséquemment, si l’aire d’un carré est égale au carré de la mesure de ses côtés, il n’y a pas à se surprendre. Par contre, on peut être surpris de la présence du carré dans ces trois formules.

• L’aire d’un cercle est égale à πR², où π est égal à 3,1416 et R est le rayon.

• Dans un triangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

On pourrait écrire : h² = a² + b².

• E = mc² où E est l’énergie de masse et m une particule de masse.

Des futés se sont amusés à composer des pensées se moquant du carré.

• Le carré est un triangle qui a réussi, ou une circonférence qui a mal tourné. (Pierre Dac)

• Le carré est une figure qui a un angle droit dans chaque coin. (Jean-Charles)

• Plus j'y pense, plus je me dis qu'il n'y a aucune raison pour que le carré de l'hypoténuse soit égal à la somme des carrés des deux autres côtés. (Frédéric Dard)

• La terre étant ronde, le kilomètre devrait être rond et non pas carré. (Ramon Gomez de la Serna)

• Géométrie politique : Le carré de l’hypoténuse parlementaire est égal à la somme de l’imbécilité construite sur ses deux côtés extrêmes. (Pierre Dac)

# 3025                 27 août 2016

La factorielle

La factorielle est l’écriture abrégée du produit des entiers à partir de 1. Le symbole utilisé est le point d’exclamation. Par exemple, au lieu d’écrire 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120, on écrit 5! = 120. Par définition, 0! = 1. La factorielle est particulièrement utilisée dans les probabilités.

Problème

On veut faire asseoir quatre enfants dans quatre chaises placées en une rangée. Combien y a-t-il de possibilités de les placer ?

Solution

• On a le choix d’une des quatre chaises pour placer le premier enfant. Il reste trois chaises vides : 4 possibilités.

• On a le choix d’une des trois chaises vides pour placer le deuxième enfant. Il reste deux chaises vides : 3 possibilités.

• On a le choix d’une des deux chaises vides pour placer le troisième enfant. Il reste une chaise vide : 2 possibilités.

• On doit placer le quatrième enfant dans la chaise vide : 1 possibilité.

On fait : 4! = 24. Il y a donc 24 possibilités de placer les quatre enfants.

On pourrait illustrer la situation. Soit A, B, C et D les quatre enfants. Après avoir placé A dans la première chaise, on aura les dispositions suivantes :

ABCD    ABDC    ACBD    ACDB    ADBC    ADCB

Il y six possibilités. En plaçant B, dans la première chaise, il y a aussi six possibilités. Il en sera de même si on place C, puis D dans la première chaise : ce qui fait bien 24 possibilités. C’est une façon de vérifier si le résultat est bon.

Un problème intéressant est de trouver le nombre de zéros à la fin de n!. Pour ce faire,

• On divise n par 5.

• On divise le quotient obtenu par 5 et on répète cette opération jusqu'à ce que le quotient soit inférieur à 5, sans jamais se préoccuper du reste de la division.

• On additionne les quotients successifs.

Soit 36!. On fait :

36 ÷ 5 = 7, reste 1

7 ÷ 5 = 1, reste 2

7 + 1 = 8

À la fin de 36!, il y a huit zéros. Le nombre est :

371 993 326 789 901 217 467 999 448 150 835 200 000 000.

# 2970                 19 juillet 2016

La marche de l’ivrogne

Qui aurait pensé que la marche d’un ivrogne qui se fait en zigzaguant aurait pu inspirer les mathématiciens pour créer une formule visant à mesurer le trajet parcouru ?

Il arrive qu’une personne fortement intoxiquée se déplace sans observer une trajectoire droite. En mathématiques, on dit que son trajet forme une ligne brisée continue. Voici un problème d’origine inconnue :

« Un ivrogne part d'un point dans un espace assez grand et marche en zigzaguant. À quelle distance de son point de départ sera-t-il après avoir effectué un nombre déterminé de zigzags ? »

On a trouvé que la distance la plus probable de son point de départ est égale à la longueur moyenne de chacun des zigzags, multipliée par la racine carrée de leur nombre. C’est une formule simplifiée. Il existe des algorithmes plus précis.

Par exemple, si la longueur moyenne des zigzags est de trois mètres et que l’ivrogne fait 16 zigzags, on fait : 3 × √16 = 12. Alors qu’il a marché 48 mètres, il est à 12 mètres de son point de départ.

En mathématiques, on appelle parfois « marche de l’ivrogne » toute marche aléatoire, c’est-à-dire une marche dont les pas sont indépendants les uns des autres. Le biostatisticien Karl Pearson a écrit : « Dans un pays ouvert, l'endroit le plus probable pour trouver un ivrogne encore capable de tenir sur ses pieds se trouve quelque part dans le voisinage de son point de départ. »

# 2930                 3 juillet 2016

À la suite de Fermat

Le mathématicien Pierre Simon de Fermat (1601-1665) a écrit dans la marge d'une page d'une œuvre de Diophante : « Il est impossible de séparer un cube en deux cubes ou un bicarré en deux bicarrés ou de façon générale toute puissance supérieure à 2 en deux puissances ayant le même exposant. J'ai découvert une preuve vraiment merveilleuse, mais la marge n'est pas assez grande pour la contenir. »

Cette proposition signifie, par exemple, que pour l’équation x³ + y³ = z³, il est impossible de donner des valeurs entières aux trois variables. La proposition de Fermat est restée insoluble pendant plus de trois siècles. Des milliers de preuves ont été présentées et reconnues comme fausses jusqu’à ce qu’Andrew Wiles en fasse la démonstration en 1993.

Comme il est impossible de trouver des solutions dans x³ + y³ = z³, ajoutons un coefficient à z³.

Problème. Soit x³ + y³ = az³, trouvez des valeurs entières qui satisfont l’équation.

Solution. On écrit : 1³ + 3³ = 28. On multiplie l’égalité par un nombre élevé à la puissance 3. Pour choisir ce nombre, on fait : 28 ÷ (1 + 3) = 7. On multiplie l’égalité par 7³. On a : 7³ + 21³ = 28 × 7³. Les valeurs des variables sont : x = 7, y = 21, a = 28 et z = 7.

Prenons un autre exemple.  On écrit : 2³ + 5³ = 133. On multiplie l’égalité par un nombre élevé à la puissance 3. Pour choisir ce nombre, on fait : 133 ÷ (2 + 5) = 19. On multiplie l’égalité par 19³. On a : 38³ + 95³ = 133 × 19³. Les valeurs des variables sont : x = 38, y = 95, a = 133 et z = 19.

On peut choisir n’importe laquelle égalité de départ de la forme x³ + y³ = a où a est la somme. On aura toujours une solution. Ce procédé est possible, car la somme de deux cubes peut être toujours décomposée en deux facteurs.

Ce procédé permet aussi de résoudre l’équation x³ + y³ = az⁴. La démarche précédente étant accomplie, on divise a par z. Dans le cas où l’égalité est 38³ + 95³ = 133 × 19³, on fait : 133 ÷ 19 = 7. Alors, a prend la valeur de 7 et on multiplie 19 par 19³ pour obtenir 19⁴. À la fin, on a : 38³ + 95³ = 7 × 19⁴. Les valeurs des variables sont : x = 38, y = 95, a = 7 et z = 19.

De la même manière qu’il est montré au début, on peut résoudre l’équation x⁵ + y⁵ = az⁵. Par exemple, on écrit : 2⁵ + 3⁵ = 275. On multiplie l’égalité par un nombre élevé à la puissance 5. Pour choisir ce nombre, on fait : 275 ÷ (2 + 3) = 55. On multiplie l’égalité par 55⁵. On a : 110⁵ + 165⁵ = 275 × 55⁵. Les valeurs des variables sont : x = 110, y = 165, a = 275 et z = 55.

De là, on peut tirer une égalité dont l’un des termes est une puissance de 6. On peut écrire : 110⁵ + 165⁵ = 5 × 55⁶.

On peut conjecturer que ces procédés s’appliquent pour toute équation de la forme xⁿ + yⁿ = azⁿ et de la forme xⁿ + yⁿ = azⁿ⁺¹, où n est impair.

Problème : Voici cinq égalités :

8³ + 8³ = 16 × 4³.

14³ + 21³ = 35 × 7³.

24³ + 48³ = 72 × 12³.

38³ + 95³ = 133 × 19³.

56³ + 168³ = 224 × 28³.

Pourriez-vous trouver les règles de formation où n est le rang de l’équation ? On exprime ces règles ainsi :

(1) x = ? (en fonction de n)                    (2) y = ? (en fonction de x et de n)                     

(3) a = ? (en fonction de x et de y)       (4) z = ? (en fonction de x)          

Voici  ces règles :

(1) x = 2n² + 6        (2) y =      x(n + 1)/2      (3) a = x + y      (4) z = x/2       

Conclusion : Lorsque nous avons les outils nécessaires, nous pouvons manipuler des nombres relativement grands.

# 2890                 16 juin 2016

Carrés magiques 3 × 3

Pour construire un carré magique 3 × 3, il faut choisir neuf nombres d’une façon appropriée. Le plus petit carré magique est formé des entiers de 1 à 9. La somme dans chaque rangée horizontale, verticale et diagonale est alors 15. Voici une des huit représentations de ce carré :

Nous donnons quatre procédés qui nous permettent de construire des carrés magiques 3 × 3.

1. On peut construire un carré magique avec n’importe laquelle suite de neuf entiers consécutifs. Par exemple, on peut choisir la suite : 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 et 14. La somme dans chaque rangée est 30, étant le triple du nombre du milieu qui est 10. Pour construire le carré, on écrit les entiers dans le même ordre que dans le carré précédent. Le 6 est mis à la place du 1, le 7 à la place du 2, le 8 à la place du 3 et ainsi de suite. On a alors :

2. On peut choisir une suite de nombres dont la différence entre chaque nombre voisin est la même. C’est ce qu’on appelle une suite arithmétique. Par exemple, on pourrait prendre la suite : 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26 qu’on distribue dans le carré dans le même ordre que précédemment. La somme  dans chaque rangée est 42. On a alors :

3. On peut choisir trois triplets de nombres consécutifs à la condition que la différence soit la même entre le dernier nombre et le premier nombre du deuxième triplet de deux triplets consécutifs. La somme dans chaque rangée sera encore le triple du nombre du milieu. Par exemple, on peut choisir comme premier triplet (7, 8, 9) et comme deuxième triplet (13, 14, 15). La différence entre le dernier nombre du premier triplet et le premier nombre du deuxième triplet est 4. Le troisième triplet sera (19, 20, 21). La somme dans chaque rangée sera 42. Pour construire le carré, on écrit les entiers dans le même ordre que dans les carrés précédents. On a alors :

4. On peut choisir un premier triplet dont la différence entre chaque terme est identique, par exemple (3, 5, 7). On choisit un deuxième triplet dont la différence entre chaque terme  est aussi identique, par exemple (15, 17, 19). Cette différence est 8. On devra choisir comme  troisième triplet (27, 29, 31). La somme dans chaque rangée est 51. On a alors :

Ces quatre procédés permettent de construire une infinité de carrés magiques 3 × 3 en faisant peu de calculs.

# 2835            26 mai 2016

Des théorèmes

Il existe de nombreux théorèmes en géométrie élémentaire. Un théorème est une proposition, généralement une phrase, qui a été démontrée et dont les données peuvent servir par la suite. Je vous propose, à titre de souvenirs, 20 théorèmes qui, pour les uns parmi vous, ont été une source d’angoisse et, pour les autres, une référence satisfaisante. Voici ces 20 théorèmes :

1. La somme des mesures des angles intérieurs d'un triangle est de 180 degrés.

2. Dans tout triangle, la mesure d'un côté quelconque est plus petite que la somme des mesures des deux autres côtés.

3. Dans tout triangle, la mesure d'un côté quelconque est plus grande que la différence des mesures des deux autres côtés.

4. Dans tout triangle, au plus grand angle est opposé le plus grand côté.

5. Dans tout triangle isocèle, les angles opposés aux côtés congrus sont congrus.

6. Dans tout triangle équilatéral, les angles mesurent 60 degrés.

7. Dans tout triangle rectangle, les angles aigus sont complémentaires.

8. Dans tout triangle rectangle isocèle, chacun des angles aigus mesure 45 degrés.

9. Les angles opposés d'un parallélogramme sont congrus.

10. Les côtés opposés d'un parallélogramme sont congrus.

11. Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu.

12. Les diagonales d'un rectangle sont congrues.

13. Les diagonales d'un losange sont perpendiculaires.

14. Dans un polygone, les diagonales issues d'un sommet divise ce polygone en autant de triangles qu'il y a de côtés moins deux.

15. La somme des mesures des angles extérieurs d'un polygone convexe est égale à 360 degrés.

16. La somme des mesures des angles intérieurs d'un polygone est égale à autant de fois 180 degrés qu'il a de côtés moins deux.

17. Trois points non alignés déterminent un et un seul cercle.

18. Toutes les médiatrices des cordes d'un cercle se rencontrent au centre du cercle.

19. Dans un cercle, le rapport d'une circonférence au diamètre est une constante que l'on note p.

20. Dans un triangle rectangle, le carré de la mesure de l'hypoténuse égale la somme des carrés des mesures des autres côtés. (Pythagore)

# 2790            7 mai 2016

Une critique de Récréomath

Dans le site Superprof, le 22 décembre 2015, Simon Azoulay a présenté le site Récréomath sous le titre : Récréomath pour des défis logiques en maths.

http://www.superprof.fr/blog/oubliez-vos-problemes-en-maths-en-vous-amusant/

En introduction, il écrit qu’il « n’est pas étonnant de trouver encore aujourd’hui de très vieux sites spécialisés dans les maths sur la toile. » Après avoir présenté un autre site, voici ce qu’il dit de Récréomath :

« Là aussi, chers élèves, nous n’avons pas affaire à un site tout jeune… Mais vous ne pourrez pas dire que l’on ne vous avait pas prévenu en introduction ! Après tout, peu importe. Récréomath est un site québécois et canadien. C’est LE bémol de cette plateforme. Il sera donc de votre responsabilité de bien sélectionner les exercices, pour travailler les thématiques en rapport avec votre programme. Les problèmes sont néanmoins classés par niveau de difficulté, ce qui vous permettra de vous aiguiller facilement. Pour le reste, on peut difficilement faire plus complet que ce site ! Vous y trouverez plus de 7500 problèmes, énigmes et jeux, des dizaines d’articles publiés et un aide-mémoire retraçant les lignes de cours dont vous avez parfois besoin pour rafraîchir vos souvenirs.

Et pour que chacun puisse progresser en maths tout en s’amusant, Récréomath a prévu un petit arsenal d’outils très pratiques :

Un « dictionnaire de mathématiques récréatives », pour revoir vos définition

Un lexique de résolution de problèmes

Des défis logiques et cours de maths

Des énigmes

Une section quiz

De la géométrie

Des astuces

Ou encore des « divertissements mathématiques »

Plusieurs millions de visiteurs ont fait confiance à Récréomath depuis sa création. Il s’agit donc d’un site très sérieux dans son approche des maths avec le décalage suffisant pour plaire au plus grand nombre. » (Fin du texte cité)

Il est étonnant de lire que Récréomath est un « très vieux » site. Et pourtant, c’est la vérité, car il est né en 2000, alors que le web présentait peu de sites de contenu. Google est apparu en 1998.

Récréomath a augmenté son achalandage depuis ces dernières semaines. Alors que le site reçoit en moyenne 2000 visiteurs par jour, du 18 au 24 avril 2016, il a reçu 44 435 visiteurs, soit une moyenne de 6347 visiteurs par jour. Il a atteint le pic de 7704 visiteurs le 20 avril. Du 18 avril jusqu’au 3 mai, le nombre de visiteurs s’est maintenu au-dessus de 4000 par jour, sauf pour un jour (3812). En avril, il y eut des visiteurs de 117 pays.

 # 2725           4 avril 2016

Les nombres

La théorie des nombres, qui est aussi appelée arithmétique supérieure,est une partie très importante des mathématiques. Elle énonce les propriétés des nombres. Ce faisant, on peut constater leur richesse, leur régularité, mais aussi leurs pirouettes parfois pleines de mystères. Il existe des cours à l’université sur la théorie des nombres.

Il est de bon aloi, pour résoudre les problèmes sur les nombres, de connaître leurs propriétés. Cela épargne beaucoup de temps et conduit à des résultats plus sûrs. Voici un exemple de problèmes :

Trouvez les nombres pairs dont le triple contient trois de ces quatre chiffres une seule fois :

2     5     7     8

 Première démarche. Comme le plus petit nombre est 257. On fait : 257 ÷ 3 = 85,67. On pourrait commencer par 86 et multiplier par 3 chacun des nombres pairs. Par exemple, 86 × 3 = 258 (voilà un premier nombre qui convient), 88 × 3 = 264 (non), 90 × 3 = 270 (non), etc. La démarche serait longue et fastidieuse.

Deuxième démarche. Il existe une propriété qui s’énonce ainsi : « Un nombre est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 3. » Parmi les quatre chiffres donnés, on en assemble trois dont la somme est divisible par 3. On a un seul triplet : 2 + 5 + 8 = 15, duquel on peut former six nombres : 258, 285, 528, 582, 825 et 852.

Or, 258 ÷ 3 = 86 (oui), 285 ÷ 3 = 95 (non, car impair), 528 ÷ 3 = 176 (oui), 582 ÷ 3 = 194 (oui), 825 ÷ 3 = 275 (non, car impair), 852 ÷ 3 = 284 (oui). Il existe quatre nombres qui répondent aux conditions. Ce sont : 86, 176, 194 et 284.

La première démarche est dans le même sens que l’énoncé du problème soit nombre pair × 3. La deuxième démarche se fait en sens inverse, soit quotient ÷ 3.

Il est probable que les personnes non expérimentées choisiront la première démarche. Elle est plus facile à adopter, mais plus longue. Les autres auront à réfléchir et à avoir recours à leurs connaissances pour choisir la seconde démarche.

Il est recommandé d’utiliser la calculatrice dans ce genre de problèmes.

# 2680          13 mars 2016

Histoire de musées

En mars 2014, j’ai reçu un courriel d’une enseignante de Suisse qui m’a proposé un problème. Elle voulait savoir quelle était la meilleure façon pour ses élèves de 11 et de 12 ans de le résoudre.

Problème

Un premier musée est composé de 1 pièce carrée avec sur chaque côté une porte, soit 4 portes en tout. Un deuxième musée est composé de 4 pièces carrées disposées en un carré, soit 12 portes en tout.

 Un troisième musée est composé de 9 pièces carrées disposées en un carré, soit 20 portes en tout, et ainsi de suite. On doit trouver le nombre total de portes pour le n^ième musée.

Commentaires

Ce problème peut être soumis à des élèves de tous les niveaux, soit du primaire à l’université, à la condition d’avoir une question adaptée. Par exemple, au primaire, on demandera le nombre de portes pour le sixième musée.

Solution du primaire

À main levée, on dessine une grille 6 × 6. On compte le nombre de droites horizontalement et verticalement. On trouve 7 droites horizontalement et 7 droites verticalement, soit un total de 14 droites. Sur chaque droite, il y a 6 portes. On fait : 14 × 6 = 84. Le sixième musée a 84 portes.

Il est probable que certains élèves feront le décompte des portes, une par une, sur la grille. Il y a alors risque d’erreurs. Lorsque l’élève apprendra qu’il existe une démarche plus courte, il en sera peut-être séduit. La prochaine fois, il réfléchira sans doute davantage avant de se lancer dans la solution.

Solutions de plus haut niveau

Voici maintenant trois démarches qui sont accessibles aux élèves ayant étudié l’algèbre :

Première solution : Par induction

Pour le premier musée, on a : 4 = 1 × 4.

Pour le deuxième musée, on a : 12 = (1 × 4) + (2 × 4) ou encore (1 + 2) × 4.

Pour le troisième musée, on a : 24 = (1 × 4) + (2 × 4) + (3 × 4) ou encore (1 + 2 + 3) × 4.

Pour n musées, le nombre de portes P = (1 + 2 + 3 + 4 + … + n) × 4.

Or, (1 + 2 + 3 + 4 + … + n) = n(n + 1)/2.

En multipliant par 4, on obtient : P = 2n(n + 1).

Deuxième solution : Par induction

Pour le premier musée, on a : 4 = 2(1 × 2).

Pour le deuxième musée, on a : 12 = 2(2 × 3).

Pour le troisième musée, on a : 24 = 2(3 × 4).

Pour le n^e musée, on aura : P = 2 × n × (n + 1) = 2n(n + 1).

Troisième solution : Par déduction

On s’inspire de la démarche adoptée au primaire. Il y a (n + 1) droites horizontalement et (n + 1) droites verticalement, soit un total de 2(n + 1) droites. Sur chaque droite, il y a n portes. On fait : 2(n + 1) × n = 2n(n + 1).

Comme on le voit, il y a souvent plusieurs façons de résoudre un problème, le tout dépendant des connaissances et des habiletés mathématiques de la personne à qui le problème est posé.

Pour ceux qui connaissent la théorie des nombres, le nombre de portes est égal à quatre fois un nombre triangulaire.

 # 2635              16 février 2016

Chiffres et nombres

La très grande majorité des messages que je reçois au sujet de Récréomath sont formulés avec clarté et sans acrimonie. En septembre 2015, j’ai reçu le message suivant d’un lecteur français dont le titre était : « 1-9 des nombres ? ». Voici son texte :

« Me rendant bien compte que je ne suis certainement pas le premier à vous signaler l'anomalie nb comme groupe ok mais au sein d'une phrase en français ça fait tache. »

Me doutant de ce qu’il voulait dire vu le titre, je lui ai demandé quand même de préciser sa pensée. Il a répondu : « Et bien ce sont des chiffres il me semble. »

Je lui ai répondu : « Rassurez-vous. En 15 ans d’existence, Récréomath n’a jamais reçu de message signalant une « anomalie » de ce genre.

Les chiffres de 0 à 9 sont aussi des nombres quand on exprime une quantité. Si je dis : « J’ai 2 pommes. », alors 2 est un nombre représenté par le chiffre 2. Il pourrait aussi être représenté par le mot DEUX.

Par extension, dans les calculs, on considère tout chiffre ou ensemble de chiffres comme un nombre. Si j’écris : 2 × 17 = 34, on opère sur des nombres. » (fin du message)

Dans les cours de mathématiques du primaire au Québec et probablement en France, on enseigne que les chiffres s’étalent de 0 à 9 et qu’à partir de 10 ce sont des nombres. Ceci est une erreur, mais elle peut très bien s’expliquer. En effet, un enfant de 6, 7 ou 8 ans pourrait-il vraiment faire cette distinction ? La réponse est non. Dans des cas comme celui-là, je pense qu’il est permis d’enseigner une erreur. Toutefois, il faudrait que l’enseignante sache qu’elle fait un raccourci. Mais, la plupart ignore que 2, par exemple, peut être aussi un nombre.

L’idéal serait de préciser ces concepts au secondaire.

# 2575              23 janvier 2016

Messages de Récréomath

Mon site Récréomath a fêté ses 15 ans d’existence en décembre dernier. Depuis deux ou trois ans, j’y mets peu de matériel. Toutefois, les visiteurs sont toujours au rendez-vous. La moyenne est d’environ 2000 par jour, les mois de juillet et août étant plus tranquilles. Par exemple, le 17 janvier 2016, le site a reçu 2554 visiteurs, le 18 janvier, 2417, le 19 janvier, 2303 et le 20 janvier 2527.

Ces dernières années, le nombre de courriels que je reçois avait diminué. Depuis le 1^er janvier 2016, j’ai été étonné de recevoir huit courriels. Je prends la peine de répondre à tous ces messages qui me signalent une erreur présumée ou réelle, qui me demandent des précisions pour la compréhension, qui me proposent un problème à résoudre ou encore qui me demandent des conseils.

Voici la teneur du dernier courriel que j’ai reçu :

« J'ai trouvé votre site sur Internet. Brièvement, je dois passer bientôt un examen comprenant des situations de raisonnement mathématique, pour appliquer sur un poste d'agent (J’ai omis le nom de l’organisme).  J'ai vu un exemple de question (dans un test de l’employeur). C'est le genre de problèmes qu'on trouve sur votre site.

Mais voilà, je n'ai pas fait de telles maths depuis des dizaines d'années ! Je sais que je ne suis pas stupide, mais je ne me souviens plus de rien. J'ai deux baccalauréats et pourtant je ne suis plus capable de trouver la solution à ce genre de problèmes.

J'ai essayé quelques-uns de vos problèmes. Mêmes résultats navrants. Mais il y a de l'espoir, car quand je consulte la solution, je vois l'évidence me sauter au visage.

Pouvez-vous me conseiller ? Que devrais-je faire pour réactiver mon cortex mathématique ? Merci à l'avance ! »

Voici la réponse que j’ai donnée :

« Puisque vous me le demandez, je vais vous donner un conseil. Il faut pratiquer.

Je ne suis pas un spécialiste des modes d’apprentissage, mais je constate que votre cortex mathématique est en mode attente. Il ne peut pas se développer. Par la pratique, on acquiert des connaissances et des habiletés qui peuvent être transférées, le cas échéant, à la résolution de d’autres problèmes. Avec le temps, on élargit ses horizons de même que sa capacité de compréhension et de rétention dans ce domaine particulier. »

Si je publie le message que j’ai reçu, c’est pour encourager ceux qui ont tendance à se déprécier face à la résolution de problèmes. On ne peut pas devenir un bon menuisier si on ne prend jamais une scie ou un marteau dans ses mains.

# 2530              4 novembre 2015

Un problème d’allumettes

Vous disposez 12 allumettes comme ci-dessous pour former quatre petits carrés. Vous décidez d’élargir la figure vers la droite, toujours en formant des petits carrés de même grandeur.

Combien d’allumettes seront nécessaires pour former 1000 petits carrés ?

En lisant cet énoncé de problème, la panique s’installe. « Jamais, dites-vous, je vais essayer de dessiner les petits carrés, cela va prendre beaucoup trop de temps. » Vous avez raison. Si on avait demandé le nombre d’allumettes nécessaires pour construire 10 petits carrés ou 5 colonnes de carrés, une stratégie consistant à les représenter aurait pu être utilisée à bon escient, mais pas dans ce cas.

Alors, on va analyser la figure. Pour tracer la première colonne de carrés, il faut 7 allumettes. Pour tracer la deuxième colonne, il faut 5 allumettes. Chaque fois où vous ajoutez une colonne, il faut toujours 5 allumettes de plus. On peut établir le tableau suivant qui, en mathématiques, est appelé table de valeurs :

Pour 8 colonnes de carrés, il faut 42 allumettes. Vous vous arrêtez un instant. Il serait trop long de se rendre jusqu’à la colonne 500. Vous remarquez que, pour chaque nombre de colonnes du tableau, vous multipliez ce nombre par 5 et vous additionnez 2. Ainsi, pour 7 colonnes, on a : 7 × 5 + 2 = 37 allumettes.

Pour 500 colonnes, on aura : 500 × 5 + 2 = 2502 allumettes. Le problème est résolu.

Il n’aurait pas été nécessaire de construire un tableau. La solution aurait pu être énoncée ainsi : « Cela prend 5 allumettes par colonne ajoutée, sauf la première qui en a 2 de plus. Alors, on multiplie 500 par 5 et on additionne 2. Cela donne 2502 allumettes. »

Une autre façon de procéder est la suivante. « Horizontalement, on aura 3 rangées de 500 allumettes : ce qui fera 1500 allumettes. Verticalement, on aura 501 rangées de 2 allumettes : ce qui fera 1002 allumettes. Or, 1500 + 1002 = 2502. On a besoin de 2502 allumettes. »

# 2485              30 septembre 2015

Parcours d’un lièvre

Dans une grille donnée, un lièvre part de la case supérieure gauche et saute d’une case à la fois en se dirigeant de gauche à droite et de haut en bas, mais jamais en diagonale. On veut savoir combien de chemins différents le lièvre pourra-t-il parcourir pour se rendre à la case inférieure droite.

Voilà un problème qui demande beaucoup d’attention si on décide de tracer chacun des chemins et de les compter un à un. On risque probablement d’en oublier. Par ailleurs, le temps nécessaire à ces deux opérations pourra être assez long.

Il existe un procédé simple et très efficace. Dans la première rangée horizontale, un seul chemin y passe. Il en est de même dans la première colonne. On écrit donc 1 dans les cases de ces deux rangées.

Par la suite, le nombre placé dans chaque case est la somme du nombre placé à gauche de ce nombre et de celui qui est au-dessus. Par exemple, pour trouver le nombre de la deuxième case de la deuxième rangée, on fait : 1 + 1 = 2. Cela signifie qu’il y a deux chemins qui passent par cette case. Pour trouver le nombre de la quatrième case de la troisième rangée, on fait : 6 + 4 = 10. Cela signifie qu’il y a 10 chemins qui passent par cette case.

La réponse au problème est qu’il y a 35 chemins qui permettent au lièvre de se déplacer.

Imaginez maintenant qu’on a une grille 10 × 10. Serait-il possible de compter les chemins un par un sans écrire de nombres dans la grille ? Oui, il serait possible, mais au prix d’erreurs possibles et d’un temps fou.

Pour terminer, je vous laisse un problème sans donner la solution. La grille est la même, comme aussi la case de départ, mais le lièvre ne peut pas sauter sur la case rouge car il y a là un piège qui est caché. Sauriez-vous trouver le nombre de chemins ?

# 2435              30 août 2015

La tour de Hanoï

Édouard Lucas naît le 4 avril 1842 à Amiens, en France. Les résultats de ses recherches sur la théorie des nombres devaient comporter quatre volumes. Malheureusement, il meurt en 1891 suite à une gangrène après avoir été atteint par une pile d’assiettes lors d’un banquet.

Il publia quatre tomes de Récréations mathématiques, dont deux à titre posthume. Ces quatre livres sont considérés comme un classique dans le domaine. L’auteur y a repris certaines récréations ou jeux anciens pour lesquels il a proposé des solutions originales et de nombreuses variantes. Il y a également introduit des problèmes originaux qui ont inspiré des auteurs postérieurs.

Édouard Lucas a inventé le solitaire qu’il a appelé la tour de Hanoï. Ce solitaire, vendu comme jouet dès 1883, est composé d'une planchette horizontale et de trois chevilles verticales. En voici la forme :

Au départ, huit disques de grandeur décroissante de bas en haut sont enfilés sur une cheville. Il s'agit de transférer les disques sur l'une des deux autres chevilles en déplaçant un disque à la fois et en plaçant toujours un disque sur un autre plus grand, tout en faisant le moins de mouvements possible.

Pour déplacer les huit disques d’une tour, il faut 255 mouvements au minimum. 

Édouard Lucas a imaginé une version eschatologique de la tour de Hanoï qu’il a présentée sous forme d’une légende :

« Sur une des trois aiguilles de diamant, Dieu enfila 64 disques d'or, le plus large reposant à la base et les autres, de plus en plus étroits, superposés jusqu'au sommet. Les prêtres du temple doivent déplacer les disques, nuit et jour, selon les règles de la tour de Hanoï. Quand la tour sera reconstruite, ce sera la fin des mondes. Quel temps faudra-t-il pour transférer les 64 disques d'une aiguille à une autre ? »

Le nombre minimum de mouvements nécessaires est 2⁶⁴ - 1 ou 18 446 744 073 709 551 615. On a calculé qu'il faudrait près de six milliards de siècles pour déplacer les 64 disques à raison d’un mouvement par seconde.

# 2420              20 août 2015

Un nouveau livre

Les éditions Coup d’œil viennent de publier mon dernier livre 500 énigmes et devinettes. C’est un livre de 254 pages qui contient, comme son titre l’indique, 500 énigmes, charades, jeux de mots, petits problèmes mathématiques et devinettes. Pas besoin d’être calé en mathématiques pour résoudre les situations. Un peu de logique et des connaissances élémentaires suffisent.

En 2012, la même maison d’édition publiait un premier tome de 500 énigmes et devinettes. Pour ce nouveau livre, elle a choisi le même titre. En réalité, c’est un tome 2, même s’il n’est pas inscrit. La vue de la page-couverture vous permettra sans doute de reconnaître qu’il s’agit d’un tout autre livre et ce, même si la présentation générale est similaire et que les énigmes sont du même genre.

 Les ventes du tome 1 ont été excellentes. La première impression de 5000 exemplaires s’est vendue en moins de deux ans. La maison d’édition a décidé de faire une seconde impression de 5000 exemplaires.

Voici, à titre d’exemples, trois énigmes de ce nouveau livre :

188. Céréales d’Arsène

Arsène a un sac de 5 kilogrammes de blé.

On lui donne une balance à 2 plateaux

et un poids de 3 kilogrammes.

Comment Arsène s’y prendra-t-il pour peser un kilogramme de blé ?

196. Turbulences de Luc

Luc fait parfois le désespoir de son père. Il n’hésite pas à mordre sa petite sœur. Pourtant, il sait que ce n’est pas bien. Sa petite sœur pleure car cela lui fait mal. De plus, elle sait que c’est mal.

Pourquoi dit-on qu’un enfant, une fois parvenu à l’âge de raison, sait soustraire ?

197. Talent de Christophe

Christophe adore faire la cuisine. Après des cours dans ce domaine qu’il a réussis haut la main, il se mit à porter autour de la taille un cordon auquel était attaché un médaillon montrant le dieu de la table.

Quelle est la couleur du cordon de Christophe ?

Bonne lecture.

# 2390              2 août 2015

Un problème bizarre

Un jour, il me vint à l’idée de composer un problème tarabiscoté sans aucune donnée numérique et sûrement déroutant. Le voici :

 Ce soir-là, après une dure journée de labeur, Érica se mit à compter les moutons. Nul ne sut jamais combien elle en compta sauf qu’au cours d’un rêve, elle entendit une voix qui disait : « Je suis le compteur officiel de moutons pour le grand dieu Dantonlit. Je t’annoncerai, à travers mes paroles, le nombre de moutons que tu as vu défiler. C’est le carré d’un nombre entier. Si tu fais la différence entre ce carré et le carré du nombre précédant le nombre entier, tu obtiens un autre carré qui a un nombre de chiffres identique à celui des oreilles du mouton. N’oublie pas de me remercier, mais à l’avenir, au lieu de compter des moutons jusqu’à un nombre de chiffres identique au nombre de pattes d’un mouton, essaie plutôt de dénouer un labyrinthe qui contient autant de chemins impairs. »

 

Érica se mit à aligner des chiffres. Finalement, elle identifia le nombre de moutons que, supposément, elle avait compté. Quel est ce nombre ?

Évidemment, il y a de nombreux détails superflus. On peut écrire le problème autrement : Trouvez deux carrés dont la différence est un carré. Ce dernier carré a deux chiffres et le plus grand carré a quatre chiffres. Voici la solution :

Le carré obtenu par la différence de deux carrés a deux chiffres, car un mouton a deux oreilles. Le carré, qui est la différence, est 81, 49 ou 25. On aura donc 41² – 40² = 81 ou 25² – 24² = 49 ou 13² – 12² = 25. Comme le nombre cherché a quatre chiffres (un mouton a quatre pattes), Érica compta 41² ou 1 681 moutons.

# 2335              22 juillet 2015

La multiplication russe

Avant l’avènement d’outils mécaniques ou électroniques de calculs, les Anciens ont développé plusieurs algorithmes. L’un de ceux-ci servait à multiplier deux nombres. Il était connu des anciens Égyptiens environ 2000 ans avant J.-C. Cet algorithme, appelé multiplication russe, est basé sur la multiplication et la division par 2.

Le tableau suivant illustre la façon de procéder. Soit à multiplier 49 par 13. Dans la colonne A, à partir du premier nombre, on divise successivement par 2, en conservant seulement la partie entière comme résultat. Quand on a atteint 1 dans la colonne A, on s’arrête. En même temps, dans la colonne B, on multiplie par 2.

Du tableau précédent, on retient les nombres de B qui sont sur la même ligne qu’un nombre impair de A. Ils sont donnés dans la colonne C.

On fait la somme des nombres de la colonne C, qui est 637. C’est le produit de 49 et de 13.

# 2285              28 juin 2015

Paradoxe du barbier

Un paradoxe est une proposition qui est à la fois vraie et fausse. C'est une assertion contraire à l'opinion commune ou à l'évidence. Les étapes du raisonnement heurtent le bon sens et jouent sur l'ambiguïté des concepts.

C'est aussi une proposition qui porte en elle une contradiction ou un ensemble de propositions apparemment légitimes qui conduisent à des conclusions contradictoires. C'est aussi une proposition étrange et incroyable mais qui, étant logiquement inattaquable, est considérée comme vraie. C'est aussi une proposition dont la vérité ou la fausseté ne peut pas être décidée. 

Il existe une énigme qui aboutit à un paradoxe et qui correspond à la dernière définition. Elle a été proposée, en 1918, par le mathématicien et logicien britannique Bertrand Russell (1872-1970). Voici cette énigme :

« Dans un village imaginaire, l'unique barbier fait la barbe à tous les hommes du village qui ne se rasent pas eux-mêmes et seulement à ceux-là. Le barbier se fait-il la barbe lui-même ? »

Si vous répondez oui, vous ne respectez pas l’énoncé. Le barbier se raserait lui-même.

Si vous répondez non, contrairement à l’énoncé, il ne raserait pas tous les hommes du village.

En somme, le barbier ne peut pas appartenir à l’ensemble des hommes qui se rasent eux-mêmes et à l’ensemble de ceux qu’il ne rase pas : c’est là le paradoxe.

# 2245              20 juin 2015

Multiplication avec les doigts

Le mathématicien français Nicolas Chuquet (1445-1488) a indiqué un procédé pour multiplier des nombres de 6 à 9 quand on connaît le produit des nombres de 1 à 5. Pour ce faire, on utilise les doigts : ce qui fait plaisir aux jeunes qui ont la bougeotte.

Problème

Comment trouver le produit de deux nombres allant de 6 à 9 ?

Démarche

On replie entièrement les doigts d’une main. On représente le chiffre par l’excédent de 5 en levant un ou plusieurs doigts. Les autres doigts demeurent alors repliés. On représente :

• 6 par un doigt levé (5 + 1)

• 7 par deux doigts levés (5 + 2)

• 8 par trois doigts levés (5 + 3)

• 9 par quatre doigts levés (5 + 4)

Pour trouver la dizaine du produit, on compte le nombre de doigts levés. Pour trouver le dernier chiffre du produit, on multiplie les nombres qui correspondent aux doigts repliés. Quand le produit est plus grand que 9, on additionne 1 à la dizaine trouvée et on conserve l’unité du produit.

Exemple 1

Faisons le produit de 7 et de 8.

1. Pour 7, on lève deux doigts d’une main.

2. Pour 8, on lève trois doigts de l’autre main.

3. Le nombre de doigts levés est la dizaine du produit, soit 2 + 3 = 5.

4. Dans la première main, trois doigts sont repliés et dans la seconde, deux doigts sont repliés. On fait : 3 × 2 = 6.

D’où, le produit de 7 et de 8 est 56.

Exemple 2

Faisons le produit de 6 et de 7.

1. Pour 6, on lève un doigt d’une main.

2. Pour 7, on lève deux doigts de l’autre main.

3. Le nombre de doigts levés est la dizaine du produit, soit 1 + 2 = 3.

4. Dans la première main, quatre doigts sont repliés et dans la seconde, trois doigts sont repliés. On fait : 4 × 3 = 12.

5. On fait : 3 + 1 = 4 qui est la dizaine. On conserve 2 comme unité.

D’où, le produit de 6 et de 7 est 42.

Conclusion

Certains enfants ont de la difficulté à apprendre leur table de multiplication. Cela peut être un excellent moyen pour qu’ils fassent du progrès.

# 2195              10 juin 2015

Réussite scolaire

On a appris dernièrement que l’Ontario a réussi, au cours des 10 dernières années, à faire passer le taux d’obtention du diplôme d’études secondaires de 68 % à 84 %. Au Québec, ce taux est actuellement de 71 %.

Or, un reportage paru dans le magazine Affaires universitaires nous apprend que les élèves ontariens sont mal préparés pour entreprendre des études universitaires. Le taux d’échec et d’abandon des étudiants à l’université a fortement augmenté au cours des 10 dernières années. Cela est vrai, semble-t-il, particulièrement dans les cours de mathématiques et de physique.

Que se passe-t-il ? Parlons mathématiques. Les programmes ontariens du secondaire depuis la fin des années 1990 mettent l’accent sur la mémorisation plutôt que sur l’acquisition d’habiletés conceptuelles, dont le raisonnement, l’analyse et la synthèse.

Au Québec, les programmes de mathématiques sont centrés sur quatre habiletés.

1. Structurer : Connaître des notions mathématiques et établir des liens cognitifs. Les manifestations sont : classifier, comparer, décrire, définir, ordonner, etc.

2. Mathématiser : Traduire une situation donnée par un modèle arithmétique, algébrique ou graphique. Les manifestations sont : formaliser, illustrer, schématiser, symboliser, etc.

3. Opérer : Effectuer des transformations à l’aide d’algorithmes ou de techniques appropriés. Les manifestations sont : additionner, décomposer, estimer, mesurer, multiplier, etc.

4. Analyser et synthétiser : Établir des liens entre une solution donnée et le problème ou trouver une solution à un problème donné. Les manifestations sont : déduire, justifier, prouver, résoudre, etc.

Le quatrième point représente une portion importante lors des évaluations au Québec. Or, d’après mon expérience, c’est sur ce point que les élèves ont le plus de difficultés et réussissent moins bien.

Lorsque j’étais conseiller pédagogique en mathématiques, une directrice adjointe d’une école m’avait demandé d’analyser l’examen trimestriel en mathématiques d’un degré parce que les résultats étaient d’environ 10 % inférieurs à ceux du trimestre précédent. J’avais découvert qu’on avait posé plus de questions sur l’analyse et la synthèse que précédemment.

Il existe au Québec un fort courant de la part des parents pour que l’école insiste prioritairement sur les connaissances. J’ai toujours été opposé à ce souhait. Bien sûr, les résultats sont meilleurs au primaire et au secondaire quand l’élève n’a qu’à répéter les faits entendus en classe, mais cela ne le prépare pas à réussir au cégep, à l’université et encore moins sur le marché du travail du 21^e siècle.

Ajoutons à cela que, lors d’épreuves internationales en mathématiques, les élèves québécois se classent toujours très bien. De plus, lors d’épreuves canadiennes, les élèves se classent souvent au premier rang des provinces.

Montaigne (1533-1592) a dit avec justesse qu’il préférait un homme à « la teste bien faicte que bien pleine ».

# 2145             31 mai 2015

John Nash (1928-2015)

Qui a vu le film Un homme d’exception, réalisé en 2001, ne peut qu’avoir de la sympathie en apprenant la mort accidentelle de John Nash le 23 mai 2015.

John Nash, un Américain, reçoit le prix Nobel d’économie en 1994 et le prix Abel de mathématiques de l’Académie norvégienne des sciences et des lettres le 25 mars 2015. Toutefois, il n’a jamais reçu la médaille Fields qui est considérée comme la récompense la plus prestigieuse des mathématiques et qui équivaut au prix Nobel de cette science.

Ses travaux mathématiques sont ralentis par la schizophrénie pendant presque 30 ans. Il a des hallucinations où on lui propose d’aider secrètement le gouvernement américain à décrypter des messages, provenant d’espions russes, publiés dans les journaux.

L’un de ses champs de recherche les plus féconds a été la théorie des jeux. Le principe de départ est que les jeux de société sont des modèles simplifiés de conflits. Ce sont des conflits artificiels établis selon certaines règles et qui se terminent par le gain ou la victoire d'un joueur ou d’une équipe.

Nash a découvert un ensemble d’outils mathématique pour analyser un conflit appliqué à des jeux à deux ou plusieurs joueurs, aussi simples que roche-papier-ciseaux. Chaque joueur peut appliquer, en suivant les règles établies d’avance, des stratégies qu’il doit gérer dans un plan qui rend maximal son gain moyen. Selon le principe d’équilibre de Nash, si un joueur modifie seul sa stratégie, il ne peut qu’affaiblir sa propre position. Il est nécessaire qu’en même temps les autres joueurs fassent de même.

Le théorème de Nash, dont je vous fais grâce, peut permettre de trouver ce point d’équilibre c’est-à-dire atteindre un gain maximal moyen. De ce théorème, découle une formule.

Les travaux de Nash servent dans différents domaines comme l’économie, la politique, la sociologie, la biologie, etc. On s’en sert, par exemple, pour établir le niveau de dépenses des candidats à une élection afin de rationaliser les sommes investies et d’obtenir un  gain maximal en fonction des montants dépensés par les autres candidats.

La politique n’est pas un jeu, mais on se sert de la théorie des jeux. Il y a quand même un point commun entre un jeu à deux ou plusieurs joueurs et une élection : il y a un seul gagnant.

# 2110             24 mai 2015

Abracadabra

Ce mot est relié au mystère ou à la magie. Il accompagne souvent une formule magique. On le retrouve dans le scénario d’énigmes notamment pour attirer l’attention du lecteur (Abracadabra, écoute bien mes paroles), pour déclencher un mouvement (Abracadabra, porte ouvre-toi) ou pour dépeindre un climat spécial (Abracadabra, la peur s’infiltra en chacun).

On peut former diverses figures géométriques avec ABRACADABRA comme un triangle.

Il est intéressant de calculer le nombre de fois qu’on peut lire ABRACADABRA représenté de diverses façons. Dans ce cas, il y a 1024 façons de lire  ce mot : c'est la somme des nombres de la 11^e ligne du triangle de Pascal.

On peut représenter ABRACADABRA autrement comme à gauche dans l’exemple suivant :

Le mot peut être lu 200 fois, comme on le constate à droite du tableau.

# 2075             9 mai 2015

Problèmes en rimes (5)

Pierre-Léon Chavignaud a écrit une arithmétique unique. Son livre Nouvelle arithmétique publié à Lyon en 1847 est en vers. Vous avez bien lu, le tout est rempli de rimes. Voici un problème :

Les neuf muses, portant des couronnes de fleurs,
Voulurent en donner à titre de faveurs,
À celles qui suivaient leurs glorieuses traces ;
Bientôt sur leur chemin parurent les trois Grâces.
Les muses à l'envi jalouses d'un tel choix,
S'écrièrent enfin d'une commune voix,
Qu'on devait à chacune accorder cet hommage.
On leur en offrit donc, et d'après le partage,
Les grâces, les neuf sœurs, égales en beauté,
En eurent à l'instant la même quantité.

Combien en possédaient les filles du Permesse ?
À combien s'éleva leur aimable largesse ?

On dit que les neuf sœurs en avaient trente-six,
Et qu'en en donnant neuf par le principe admis,
Il en resta vingt-sept : or, les muses aimables
Cimentèrent la paix sur des bases durables ;

Chacune en obtint trois, et d'après leurs bienfaits,
Les grâces, les neuf sœurs, ne se quittent jamais.

# 2045             3 mai 2015

Le cavalier (3)

Aux échecs, le cavalier est une pièce atypique. Alors que les autres pièces se déplacent horizontalement, verticalement ou obliquement, le cavalier progresse de façon asymétrique. Il se déplace en forme de L, soit d’une case horizontalement et de deux cases verticalement dans un sens ou dans l’autre ou encore d’une case verticalement et de deux cases horizontalement dans un sens ou dans l’autre. Sur un tablier du jeu d’échecs, il progresse dans tous les sens, d’une case noire à une blanche ou inversement. Il se déplace à la fois comme la tour et le fou.

Dans l’article 1600, nous avons étudié comment se comportait le cavalier dans des grilles 3 × 3 et 4 × 4. Dans l’article 1765, nous avons démontré qu’à partir d’un certain nombre de cases d’une grille 5 × 5, le cavalier peut parcourir au plus 24 cases. Aujourd’hui, nous allons montrer qu’à partir de certaines cases noires, le cavalier peut parcourir les 25 cases.

On commence par colorer les cases en deux teintes comme sur l’échiquier.

Si le cavalier part d’une case noire, les cases de rang impair seront noires. Aussi, la 25^e case sera de cette couleur. Voici un exemple de parcours où le cavalier part d’une case noire :

Si le cavalier partait de la case marquée 25, on pourrait suivre le chemin à rebours et on aurait une autre solution où le cavalier atteint 25 cases. L’arrivée serait alors sur la case marquée 1. On pourrait aussi faire faire des rotations ou des symétries au tableau. Ainsi, on obtiendrait d’autres solutions quand le cavalier part d’un coin.

Pour terminer, voici un exemple où le cavalier se déplace d’une façon régulière en tournant toujours dans le même sens et qui finit encore sa course au centre :

# 2005             25 avril 2015

La calculatrice

On lit parfois que la calculatrice a été inventée par Blaise Pascal. En 1641, le jeune Blaise qui avait alors 18 ans, a conçu, pour les affaires de son père, une machine qui était capable d’effectuer des additions et des soustractions. Cette calculatrice mécanique fut appelée la Pascaline.

En réalité, la première calculatrice mécanique était connue des Chinois dans les temps anciens. C’est ce qu’on appelle le boulier chinois. Quand j’étais élève au primaire dans les années 1950, il y avait un boulier chinois dans la classe. Comme les institutrices ne savaient pas s’en servir, elles n’ont pas pu nous le montrer. À la fin des années 1990, j’ai vu dans un reportage que, dans un petit commerce de Russie, un commis se servait encore du boulier pour calculer le montant de la facture.

Au fil du temps, d’autres calculatrices mécaniques ont vu le jour. Leur commercialisation a été tentée mais sans succès à cause de coûts prohibitifs. Puis succéda, la calculatrice électromécanique. Dans les années 1970, j’ai acheté une machine à additionner qui était alimentée par l’électricité et qui imprimait les différentes entrées avec le total. Son boîtier ressemblait aux caisses enregistreuses de l’époque. Heureusement, j’ai conservé ce spécimen qui est en très bon état.

Puis, vint la calculatrice électronique de poche. En 1970, j’ai acheté un modèle qui pouvait effectuer seulement les quatre opérations de base. Le boîtier ressemblait aux calculatrices autonomes encore sur le marché, sauf que l’épaisseur pouvait en être le double. Cette calculatrice se détaillait 150 $. Ce montant, en 2015, équivaut à 937,87 $. Les consommateurs d’aujourd’hui dont je suis peuvent remercier les premiers clients qui ont acheté les premiers prototypes, peu importe le domaine, à des prix exorbitants mais justifiables.

En 1975, comme cadeau de noces, j’ai acheté une calculatrice à ma sœur qui se détaillait 80 $. Les prix avaient déjà considérablement baissé.

La calculatrice a évolué avec le temps. Elle est devenue scientifique, munie d’une imprimante, programmable, intégrée à une montre. Aujourd’hui, elle fait partie de plusieurs gadgets. Il est probable que la calculatrice autonome disparaîtra d’ici quelques années, faute de clients qui ont amplement accès autrement à cet outil.

Si vous êtes jeune et que vous avez une calculatrice dont la seule fonction est de calculer, conservez-la. Dans 50 ans, vous pourrez montrer cette vieillerie à vos petits-enfants.

# 1970             18 avril 2015

Problèmes en rimes (4)

Pierre-Léon Chavignaud a écrit une arithmétique unique. Son livre Nouvelle arithmétique publié à Lyon en 1847 est en vers. Vous avez bien lu, le tout est rempli de rimes. Voici un problème :

Quinze sages chrétiens, quinze turcs indociles,

Un jour dans un vaisseau reconnus inutiles,

Furent jetés au sort, et le chef sans pitié

Dit qu'il fallait dès lors en noyer la moitié,

Afin que le vaisseau, dans cette circonstance,

Put d'un temps rigoureux vaincre la violence.

Le capitaine ainsi les range adroitement,

Sur une même ligne, et dit en les comptant,

Que du neuvième, hélas ! la tête malheureuse

Subira du trépas la chance rigoureuse ;

Mais le bon capitaine avait si bien compté,

Qu'à chaque neuvième homme un turc était porté.

Comment les rangea-t-il dans ce triste problème,

Pour pouvoir opérer cet heureux stratagème ?

Solution

Il faut, pour réussir, d’abord être certain
Des voyelles qui sont dans ce vieux vers latin :

Populeam virgam mater regina ferebat.

(On pose A = 1, E = 2, I = 3, O = 4 et U = 5. Les voyelles indiquent en alternance le nombre de chrétiens et de Turcs)

En prendre exactement la formule prescrite,
Plaçant quatre chrétiens et cinq turcs à la suite,
Deux chrétiens, puis un turc, le neuvième en suivant
Sur le turc malheureux sans cesse retombant,
Épargne les chrétiens de ce fatal naufrage ;
Et le vaisseau sauvé, déjà touche au rivage. (Fin de la solution)

Ce problème est très ancien. Il a été formulé par l’Italien Tartaglia (1500-1557). Les chrétiens doivent occuper les places de rangs 1, 2, 3, 4, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 20, 21, 25, 28 et 29. Il doit donc y avoir dans l'ordre quatre chrétiens, cinq Turcs, deux chrétiens, un Turc, trois chrétiens, un Turc, un chrétien, deux Turcs, deux chrétiens, trois Turcs, un chrétien, deux Turcs, deux chrétiens et un Turc.

# 1930             10 avril 2015

Le pourcentage

Vous avez vu, comme moi, à la télévision, une annonce publicitaire où on offre un rabais de 100 % de 25 %. Que comprend le consommateur moyen de cette offre ? Je trouve cela scandaleux, d’autant plus que le présentateur avoue qu’il ne sait pas ce que cela donne.

Pourquoi avoir introduit 100 % en appuyant sur cette donnée si ce n’est que pour confondre les consommateurs et leur faire miroiter un rabais supérieur à 25 % ? En réalité, 100 % de 25 %, c’est 25 %. On fait le calcul ainsi : 100 % = 1 et 1 × 25 % = 25 %.

Quand on dit qu’une perte est de 100 %, c’est qu’on a tout perdu. On ne peut pas avoir perdu plus que son avoir.

Si la perte est de 50 %, on a perdu la moitié. Vous avez acheté un bien au coût de 300 $. Si la perte de la revente est de 50 %, ce qui équivaut à 1/2, vous avez perdu 150 $. Vous recevrez donc 150 $.

Si la perte est de 25 %, ce qui équivaut à 1/4, vous avez perdu 75 $. Vous recevrez donc 225 $. Une perte ne peut jamais être supérieure à 100 %. Une perte de 200 %, par exemple, ça n’existe pas.

Il en est autrement des gains. Quand on dit que le gain est de 100 %, il correspond à un montant équivalent à celui payé. Vous avez acheté un bien au coût de 300 $. Si le gain de la revente est de 100 %, vous avez gagné 300 $. Vous avez vendu le bien 600 $, soit le double du prix payé.

Si le gain est de 50 % sur un bien de 300 $, vous avez gagné 150 $. Vous avez vendu le bien 450 $, soit une fois et demie le prix payé.

Si le gain est de 200 %, vous avez gagné 600 $. Vous avez vendu le bien 900 $, soit trois fois le prix payé.

Pour les gains, on peut dépasser 100 %. Toutefois, il faut se souvenir que 100 % correspond au double, 200 % au triple, 300 % au quadruple et ainsi de suite.

On entend parfois dire : « Mon employé se donne à 100 % au travail. ». C’est que l’employé donne tout ce qu’il a et ne perd jamais de temps. En réalité, il ne peut pas faire plus. Dans ce contexte, se donner à 110 % ou à 200 % est plutôt une figure de style pour montrer la grande implication d’une personne.

J’ai souvent entendu des élèves dire : « À quoi ça sert les mathématiques ? » Voilà des exemples concrets qui nous permettent de décortiquer les propositions alambiquées et de ne pas se faire écorcher.

# 1880             31 mars 2015

Ponts de Königsberg

L’autre jour, en regardant un film, j’ai entendu un professeur de mathématiques parler du problème des sept ponts de Königsberg. Ce problème a été posé par Leonhard Euler (1707-1783) en 1736. La ville de Königsberg, qui est une île, a vraiment existé en Russie. Le nom a été changé en 1946 pour Kaliningrad. Elle est reliée à la terre ferme par sept ponts. Voici un schéma de la situation :

Le problème consiste à trouver un chemin partant d'un point quelconque de la ville et permettant de traverser une et une seule fois chacun des sept ponts pour revenir au point de départ. Au 18^e siècle, de nombreuses personnes ont tenté de dénouer l’énigme, mais sans succès. Toutefois, cela n’était pas suffisant pour démontrer l’impossibilité du problème.

Euler a donné une démonstration qui a permis l’éclosion d’une nouvelle branche des mathématiques : la théorie des graphes. La règle d'Euler est simple. On compte le nombre de ponts aboutissant à chaque rive. Au nord, on compte trois chemins de sortie des ponts. Au sud et à l’ouest, on compte aussi trois chemins.

Selon Euler, si plus de deux résultats sont impairs, il n'y a pas de solution. Par ailleurs, si tous les résultats sont pairs ou si seulement deux sont impairs, il existe au moins une solution. Le grand mathématicien a tracé un graphe (représentation graphique) qui permet de visualiser la situation.

Sans passer plus d’une fois sur un même pont, il faut un nombre pair de ponts pour quitter un secteur et y revenir. Si on part d’un secteur qui donne accès à trois ponts, on pourra sortir de ce lieu par un pont, y revenir et y ressortir. Le nombre impair de ponts ne permet pas de revenir au point de départ. La parité est donc un élément important. La même situation se produit pour le veilleur de nuit qui doit visiter un certain nombre de pièces. S’il devait franchir une seule porte, il devrait y avoir deux portes par pièce. Et s’il y avait trois portes, après les avoir toutes utilisées, il serait prisonnier de la pièce.

D’autres problèmes analogues ont été posés par la suite. On peut faire des recherches de solution pendant des heures ; mais quand on connaît la règle d’Euler, les problèmes deviennent très simples. D’ailleurs, voilà pourquoi, on enseigne des règles en mathématiques. Le but de tout cela est de simplifier la démarche de résolution. Toutefois, il est toujours important d’intégrer les règles pour que ça ne devienne pas une application mécanique.

Les cours traditionnels de mathématiques élémentaires n’incluent pas la théorie des graphes, après plus de trois siècles de sa conception. Elle est réservée aux cours universitaires. On devrait sérieusement songer à introduire une initiation aux graphes dans les cours du secondaire. On pourrait étudier des sujets précis comme le coloriage des cartes, les déplacements sur le tablier d’échecs, les réseaux de communication, etc.

# 1845             24 mars 2015

Problèmes surprenants (4)

Louis Bentz dans ses Premiers éléments d'arithmétique, suivis de problèmes raisonnés en forme
d'anecdotes présente des problèmes originaux à l’intention des élèves de 9 à 12 ans. Le manuel scolaire fut publié à Paris en 1835. Voici deux problèmes :

Problème 1

Jules, Louis et Henri, trois frères, allèrent ensemble faire des vœux à leur père pour son anniversaire. Celui-ci les reçut avec plaisir et leur dit : « Mes chers fils, vous me souhaitez encore une longue vie, vous désirez que vous puissiez m'exprimer vos vœux encore cinquante ans. Vous savez que cela ne dépend que du bon Dieu ; mais ce qui dépend de nous, quelle que soit la durée de notre vie, c'est que nous marchions toujours dans le chemin de la vertu. Celui qui ne s'en est jamais écarté, mourût-il à la fleur de son âge, peut dire qu'il a vécu longtemps et heureux. C’était là et ce sera toujours le but où j'aspire. Mon plus grand bonheur sur la terre serait de pouvoir encore longtemps vous voir suivre ce beau chemin. Mais si un d'entre vous avait le malheur de s'en écarter, ce serait alors que la vie deviendrait un triste fardeau pour moi ; alors j'aurais vécu trop longtemps. Vous savez sans doute le nombre d'années que j'ai déjà vécu : j'entre précisément dans ma soixante-deuxième. Je récompenserai celui de vous qui me calculera combien de minutes depuis que je suis au monde. L'année contient 365 jours et 6 heures ; le jour se compose de 24 heures, l'heure de 60 minutes. »

Solution. Le père a vécu 32 083 560 minutes

Problème 2

Je me suis réveillé de bon matin, je me suis levé aussitôt, et je me suis habillé. J'ai pris de l'eau, je me suis lavé les mains et la figure. Cela fait, j'ai dit mes prières du matin, demandant à Dieu ses grâces pour la journée. Puis j'ai embrassé mon père et ma mère, j'ai pris mes affaires et me suis rendu en classe. En entrant, j'ai salué mon maître et me suis assis tranquillement à ma place. Le maître m'appelle au tableau et me propose cette question d'arithmétique : « Cette salle peut contenir un dixième plus d'élèves que vous n'êtes en ce moment ; il doit en venir 30 nouveaux pour le mois prochain, cela fera en tout 140. Dites-moi : Combien êtes-vous d'élèves en ce moment ? Quand les 30 nouveaux seront venus, y aura-t-il de la place pour tous ? Combien serai-je obligé d'en renvoyer ? »

Solution. Il y a 110 élèves en ce moment. Il n’y aura pas de la place pour tous. Aussi, 19 élèves devront être renvoyés.

# 1795             14 mars 2015

Fête des mathématiques

En ce 14 mars, c’est la fête des mathématiques. Cette date a été choisie pour faire un clin d’œil à la constante π qui se lit pi et qui vaut 3,14159 26535 89793 23846 … Pi est le rapport de la circonférence d’un cercle à son diamètre. Le 3 désigne le mois et 14 le quantième. Le premier jour de Pi s’est tenu à San Francisco en 1988. Le congrès américain a reconnu le 14 mars en 2009 comme le jour de Pi.

Voici quelques suggestions d’activités en ce jour pour faire honneur à pi :

• Piaffer : Piaffez de joie si vous avez gagné un bon lot à la loterie.

• Piailler : Comptez le nombre d’oiseaux qui piaillent dans votre cour.

• Piano : Conduisez prudemment, car qui va piano va lontano.

• Piastre : Comptez vos piastres pour vous acheter le dernier gadget électronique.

• Piaule : Mettez de l’ordre dans votre chambre, si on la qualifie de piaule.

• Pie : Si vous parlez anglais, n’hésitez pas à vous empiffrer de tartes.

• Pied : Ne mettez pas vos deux pieds dans la même bottine.

• Piège : Ne tombez pas dans le piège que les mathématiques sont pour les gars.

• Pierre : Favorisez ce prénom pour un garçon né en ce jour. Il est célèbre en géométrie. En effet, la demi-circonférence d’un cercle est égale à πR, où R est le rayon.

• Piéton : Demandez à certains piétons quelle est la valeur de pi.

• Pige : Essayez d’arrondir vos fins de mois en travaillant à la pige.

• Pigeon : Pour une fois, nourrissez les pigeons dans le parc près de chez-vous.

• Pile : Sortez vos sous de la tirelire pour les placer en piles.

• Pilule : Faites le ménage dans vos pilules pour vérifier leur date d’expiration.

• Piment : Commandez une ou deux pizzas aux piments.

• Pion : Jouez aux échecs et protégez vos huit pions.

• Pipe : Fumez une pipe en tentant de composer des chiffres avec les volutes de fumée.

• Pique : Jouez à la Dame de pique en vous méfiant de cette carte qui vaut 13 points et qui peut vous faire perdre si vous devez l’acquérir.

• Pique-nique : Faites un pique-nique dans un parc où il y a autant d’oiseaux que d’arbres.

• Piquet : Ne faites pas le pitre à l’école, sinon on vous fera subir le supplice du piquet.

• Piqure : Résolvez quelques problèmes récréatifs dans ce blogue ou ailleurs. Vous aurez peut-être la piqure.

• Pirate : Faites un tour de bateau en espérant ne pas rencontrer de pirates.

• Pirouette : Faites plusieurs tours entiers sur vous-même pour que la pirouette soit élégante.

• Pivoine : Calculez vos sous pour offrir un bouquet de pivoines à la personne qui est, pour vous, la plus chère au monde.

• Pixel : Améliorez la qualité de vos images en raffinant les pixels.

Pi, c’est tout.

# 1765             8 mars 2015

Le cavalier (2)

Aux échecs, le cavalier est une pièce atypique. Alors que les autres pièces se déplacent horizontalement, verticalement ou obliquement, le cavalier progresse de façon asymétrique. Il se déplace en forme de L, soit d’une case horizontalement et de deux cases verticalement dans un sens ou dans l’autre ou encore d’une case verticalement et de deux cases horizontalement dans un sens ou dans l’autre. Sur un tablier du jeu d’échecs, il progresse dans tous les sens, d’une case noire à une blanche ou inversement. Il se déplace à la fois comme la tour et comme le fou.

Dans l’article 1600, nous avons étudié comment se comportait le cavalier dans des grilles 3 × 3 et 4 × 4. Aujourd’hui, nous allons montrer qu’à partir d’un certain nombre de cases d’une grille 5 × 5, le cavalier peut parcourir au plus 24 cases.

On commence par colorer les cases en deux teintes comme sur l’échiquier.

On remarque que la grille contient 13 cases noires et 12 cases pâles. Or, d’un saut à l’autre, le cavalier passe d’une case noire à une pâle ou d’une pâle à une noire. S’il part d’une case pâle, la deuxième case est noire, la troisième est pâle, la quatrième est noire, etc. En conséquence, la 24^e case est noire. Il reste alors une seule case qui est noire. Le cavalier ne peut pas l’atteindre. Aussi, lorsque le cavalier part d’une case pâle, il peut parcourir au plus 24 cases. Voici un exemple où le cavalier part d’une case pâle du tableau précédent :

Le cavalier a atteint 24 cases, alors que la case inférieure gauche est noire. À partir de la case 24, le cavalier pourrait atteindre la case 1. On dit alors, en mathématiques, que la pièce fait un circuit.

À partir de cet exemple, on peut montrer que, peu importe la case pâle de départ, une solution existe pour toute case de départ de cette teinte. En effet, comme on a obtenu un circuit, le cavalier peut parcourir 24 cases. Par exemple, si la case de départ est celle marquée 5 dans le cas précédent, la case 6 deviendra 2, la 7 deviendra 3, …, la 24 deviendra 20, la 1 deviendra 21, la 2 deviendra 22, etc. Voici la nouvelle solution issue de ce même parcours :

En mathématiques, on dit que cette démonstration est élégante. Elle est simple, relativement courte et utilise un moyen détourné, les couleurs. En plus, elle est visuelle.

# 1725             28 février 2015

Problèmes en rimes (3)

Pierre-Léon Chavignaud a écrit une arithmétique unique. Son livre Nouvelle arithmétique publié à Lyon en 1847 est en vers. Vous avez bien lu, le tout est rempli de rimes. Voici un problème :

Un jour, le cuisinier d'un puissant personnage,

Afin de contenter trois filles du village,

Qui demandaient des œufs, leur dit en les voyant :

Je vais donner tous ceux que j'ai dans le moment.

Il donne la moitié d'abord à la première

Plus la moitié d'un œuf par faveur singulière ;

À la seconde, il offre aussi du meilleur cœur

La moitié qui lui reste, avec même faveur

De la moitié d'un œuf dont la fille s'empare ;

Enfin continuant son partage bizarre,

Il donne à la troisième avec même amitié,

De son troisième reste encore l'humble moitié,

Plus la moitié d'un œuf : il eut donc l'avantage

De tout distribuer. Dans cet heureux partage,

Qui paraît singulier, combien en avait-il,

Et comment a-t-il eu l'esprit assez subtil,

Pour donner des moitiés à chaque jeune fille

Sans en casser un seul, ni s'échauffer la bile ?

Solution

Cet homme avait sept œufs : à la première fois

Il donne la moitié ; dès lors je m'aperçois

Que c'est trois et demi plus la moitié d'un autre,

C'est donc quatre en un mot. À notre bon apôtre,

Il n'en reste que trois, et selon son espoir,

La seconde en a deux, car cet heureux avoir

Égale un et demi plus la moitié. Notre homme

N'a donc plus qu'un seul œuf, il le partage en somme,

En offrant la moitié, plus la moitié. L'on voit
Qu'il les a tous donnés : le reste se conçoit.

# 1690             21 février 2015

Tout en 1

Il existe des nombres que certains auteurs qualifient de curieux alors que d’autres n’hésitent pas à dire qu’ils sont remarquables. Le nombre 111 111 111 est de cet acabit.

Si on l’élève au carré, on obtient 12 345 678 987 654 321. Les chiffres sont en ordre croissant de 1 jusqu’à 9, puis en ordre décroissant de 8 à 1.

Si on divise par 2, on obtient 55 555 555,5. On trouve uniquement des 5, y compris la décimale.

Si on divise par 3, on obtient 37 037 037. Le 37 apparaît trois fois.

Si on divise par 4, on obtient 27 777 777,75. Si on additionne le premier et le dernier chiffre, on obtient un autre 7.

Si on divise par 5, on obtient 22 222 222,2, soit uniquement des 2.

Si on divise par 6, on obtient 185 185 18,5. Le 185 apparaît trois fois.

Si on divise par 8, on obtient 13 888 888,875, Si on additionne 13 et 75, on obtient 88.

Si on divise par 9, on obtient 12 345 679. Une surprise : le 8 manque.

Si on divise par 11, on obtient 10 10 10 10,09 09. Si on additionne 101 et 909, on obtient 1010.

Si on divise par 12, on obtient 925 925 9,25. On obtient 925 trois fois.

On pourrait continuer ainsi et trouver d’autres propriétés. Voici deux tableaux dont le premier commence avec des 1 et l’autre finit avec des 1.

Tableau 1.

Tableau 2.

# 1645             12 février 2015

Problèmes anciens

Ce blogue contient une section où on trouve des problèmes principalement du 19^e siècle. Ceux-ci ont été puisés dans des livres dont la plupart ont été numérisés par Google. J’ai tenu à faire revivre ces problèmes anciens pour montrer le genre de problèmes que les jeunes de cette époque avaient à résoudre.

Dans ces problèmes, on parle d’âges, d’achats, de partages de biens, de robinets, d’héritages, de testaments, de distances, de pertes, de gains au jeu, d’ouvriers au travail, de soldats, de bourses, etc. Quand on met en contexte les hommes et les femmes, les hommes gagnent toujours plus que les femmes. En revanche, pour un dîner à l’hôtel, les femmes paient moins que les hommes pour un même menu.

Ces problèmes, certains québécois, d’autres français, ont été populaires jusqu’au milieu du 20^e siècle. Pour la plupart, ils ne se retrouvent pas dans les manuels scolaires du 21^e siècle. Certains auteurs ont expliqué en long et en large leur solution, allant parfois jusqu’à généraliser le problème.

La plupart de ces problèmes se résolvent plus facilement à l’aide de l’algèbre. Toutefois, certains auteurs, surtout ceux du début du 19^e siècle, ne font pas appel à cet outil. Il en résulte des solutions, parfois sur plus d’une page, où on utilise la règle de trois, la règle de fausse position simple ou double.

J’ai été étonné de la difficulté de certains problèmes puisqu’ils s’adressaient à des jeunes de 12 à 16 ans. J’ai vérifié la réponse de ces problèmes. Je dois avouer que je n’aurais pas pu insérer quelques-uns de ceux-ci si la réponse n’avait pas été donnée. Et même en ayant la réponse, j’ai dû user de tout mon savoir-faire pour arriver au bon résultat.

J’ai apporté certaines corrections mineures sur la forme, mais peu sur le fonds. Toutefois, pour ne pas alourdir le texte, je n’ai pas signalé les corrections.

Outre les problèmes de ce blogue, on peut trouver 500 autres problèmes anciens dans Récréomath. Le lecteur pourra se retremper dans ses problèmes qui couvraient le curriculum du secondaire en arithmétique pendant le 19^e siècle.

# 1600             3 février 2015

Le cavalier

Aux échecs, le cavalier est une pièce atypique. Alors que les autres pièces se déplacent horizontalement, verticalement ou obliquement, le cavalier progresse de façon asymétrique. C’est le trouble-fête du jeu d’échecs. Il est un peu comme le méchant dans un roman. Il est permis de penser que le jeu d’échecs n’aurait pas connu autant de succès sans la présence de cet être redoutable. Il s’introduit de façon sournoise sur des cases en passant par-dessus d’autres pièces.

Le cavalier se déplace en forme de L, soit d’une case horizontalement et de deux cases verticalement dans un sens ou dans l’autre, ou encore d’une case verticalement et de deux cases horizontalement dans un sens ou dans l’autre. Sur le tablier du jeu d’échecs, il progresse dans tous les sens, d’une case noire à une blanche ou inversement. Il se déplace à la fois comme la tour et comme le fou. À partir du centre d’une grille 5 × 5, il peut atteindre au plus huit cases. Dans la grille ci-dessous, le B indique la case d’arrivée quand le départ se fait en A.

Les problèmes de cavalier sont fort nombreux. L’un des plus connus est celui qui consiste à faire en sorte qu’un cavalier parcoure toutes les cases d’une grille carrée ou rectangulaire.

Dans une grille 3 × 3, le problème a peu d’intérêt. On ne peut pas placer le cavalier dans la case centrale et si on le place dans une autre case, il ne peut pas atteindre le centre. Lorsqu’il part d’une case périphérique, il peut atteindre au plus deux cases. Voici un exemple de parcours continu en partant de la case 1 :

Si on laissait aller le cavalier, il n’arrêterait jamais. En mathématiques, on dit qu’il fait un circuit.

Dans une grille 4 × 4, il existe trois groupes de cases équivalentes. Les cases marquées A, celles marquées B et celles marquées C reçoivent les mêmes solutions.

Si on part d’une case A, par exemple, et si on trouve une solution, celle-ci vaut pour les trois autres cases A parce qu’on peut faire des rotations.

Dans une grille 4 × 4, peu importe la case de départ, le cavalier peut parcourir au plus 15 cases.  C’est le cas, lorsque le départ se fait dans un coin. Voici un exemple :

Lorsque le cavalier part d’une case autre que les coins, il ne peut parcourir que 14 cases. Voici un exemple :

Ce sont toujours les cases des coins qui causent problème parce que, si on les atteint, il faut avoir une case libre pour en ressortir.

# 1565             27 janvier 2015

Problèmes surprenants (3)

Louis Bentz dans ses Premiers éléments d'arithmétique, suivis de problèmes raisonnés en forme d'anecdotes présente des problèmes originaux à l’intention des élèves de 9 à 12 ans. Le manuel scolaire fut publié à Paris en 1835. Voici deux problèmes :

Problème 1.

« Ma fille, comme vous êtes en âge de pouvoir m'être utile dans les affaires de la maison, je vous charge de faire dorénavant les approvisionnements du ménage ; demain vous irez donc au marché faire emplette de ce dont nous avons besoin ; mais pour vous corriger de votre étourderie et de votre peu d'exactitude à remplir les ordres qu'on vous  donne, vous serez obligée à payer de votre bourse ce dont vous vous tromperez dans les achats que vous ferez. »

Ainsi disait la mère d'Adèle, et le lendemain, jour de marché, elle lui remit 8 francs 50 centimes pour acheter différents objets, comme du beurre, des œufs, etc.

Pour cet argent elle apporta à la maison :

Cinq douzaines d'œufs à 50 centimes la douzaine ;

Deux livres de beurre à 65 centimes la livre ;

Une oie pour 1 franc 80 centimes.

Elle rapporte en outre encore en argent 1 franc 50 centimes.

1^e De combien s'est-elle trompée ?

2^e Si elle avait dans sa bourse 10 francs, combien lui en restait-il ? (p. 126)

Solution 1 

1^e  Elle s’est trompée de 1 franc 40 centimes.

2^e Il lui restait 8 francs 60 centimes.

Problème 2

Un jeune homme, âgé de 15 ans, nommé Joseph, eut l'idée de se mettre dans le commerce. Il était actif, entreprenant, et quoiqu'il eût perdu ses parents de bonne heure, il marchait toujours dans le sentier de la vertu. Quoi ! se dit-il, passerai-je ma jeunesse dans l'inaction et l'oisiveté ? Les biens que mes chers parents m'ont laissés à leur mort, les dissiperai-je sans penser à l'avenir qui viendrait m'accabler du fardeau de la tristesse ? Si je ne sème pas dans le printemps de ma vie, de quel œil, quand l'été sera venu, verrai-je récolter ceux qui auraient mieux employé leur jeunesse ? Non ! dès ce moment, je veux tâcher de me former un avenir heureux ; il me faut de l'occupation, et j’irai la chercher chez un grand commerçant où je ne pourrai manquer de besogne.

Il alla donc aussitôt à Francfort-sur-le-Mein, et s'adressa à un négociant en gros. Celui-ci lui proposa quatre ans d'apprentissage. –  « Quatre ans ! c'est trop, lui dit Joseph ; je crois qu'en trois ans, avec la peine que j'ai résolu de me donner, je peux être au fait de vos affaires ! » Le marchand lui demanda, entre autres choses, s'il connaissait déjà le calcul. –  « J'en ai un commencement dit Joseph. » Pour examiner les dispositions du jeune homme, le marchand lui donna à calculer ce qui suit :

1^e  Combien coûtent 45 livres de sucre à raison de 186 francs le quintal ?

2^e Si le quintal de café coûte 243 francs, combien en coûteront 57 livres ?

3^e À combien reviennent 82 livres de sirop, si le quintal coûte 76 francs ?

Joseph. –  « Je n'aurai pas grande peine à calculer cela. Comme il y a cent livres dans le quintal, la livre doit coûter autant de centimes que le quintal coûte de francs ; je n'ai donc qu'à multiplier le nombre des livres avec le prix du quintal, que je regarde comme des centimes, et toutes ces opérations seront faites. »

Le négociant fut si content de lui qu'il lui remit deux ans de son apprentissage.

Quel est le résultat de ces trois opérations ? (p. 128)

Solution 2 

1^e 83 francs 70 centimes

2^e 138 francs 51 centimes

3^e 62 francs 32 centimes

# 1535             21 janvier 2015

Tour de magie : le cavalier

Le cavalier est une pièce du jeu d’échecs qui se déplace en L. En partant d’une case quelconque, dans certaines grilles, il peut atteindre toutes les cases une et une seule fois. Voici un exemple dans une grille 6 × 6 où le cavalier part de la case 1 et termine son parcours à la case 36 :

Lorsque le cavalier a atteint la case 36, il pourrait sauter sur la case 1. On appelle cela un circuit en mathématiques.

Il y a quelques années, un jeune garçon de huit ans a épaté ses proches. Il demandait à une autre personne de lui indiquer une case de départ sur un échiquier, soit une grille 8 × 8. Il déplaçait alors le cavalier pour atteindre toutes les cases. En soi, c’était un tour de magie remarquable parce que, si on tente l’expérience sans modèle, on peut tenter de remplir plusieurs grilles avant de réussir l’exploit. Vous pouvez vous y essayer.

Quel était son truc ? Il avait trouvé une grille 8 × 8 dans laquelle le cavalier faisait un circuit. Il avait appris par cœur le parcours : ce qui est quand même tout à son honneur. Ainsi, il pouvait remplir la grille.

Si on prend la grille ci-haut et qu’on place d’abord le cavalier dans le coin supérieur gauche, on aura le parcours suivant :

Si vous avez un enfant ou un petit-enfant particulièrement futé et ayant une bonne mémoire visuelle, apprenez-lui ce tour de magie. Il pourra épater ses amis.

# 1490             12 janvier 2015

Poèmes électroniques

L’ordinateur est une machine froide et rigoureuse. Il n’exprime jamais de sentiments. Il suit aveuglément les instructions d’un programmeur. Toutefois, c’est une machine fiable à qui on peut demander d’exécuter un grand nombre de travaux routiniers dans un temps record.

Pour un, le grand mathématicien Blaise Pascal (1623-1662), qui inventa le premier une machine à calculer, aurait-il pu imaginer qu’un jour une machine puisse composer des poèmes ? C’est pourtant ce qui arrive quand on suggère à ce robot des mots et des structures de phrases.

En 1979, à l’aide d’un TRS-80, j’ai composé un court programme en BASIC dans lequel on trouvait une centaine de mots et une possibilité de composer 12 lignes de texte. Voici ce que l’ordinateur a produit :

Le bocage mélancolique

Aime cette pluie.

Avec le nuage,

La rivière tranquille

Secoue la lune.

La mer spasmodique

Gaspille cette rivière

Sous le pêcheur.

Parce que la fumée

Noie son cœur splendide,

La nuit fragile

Guide son sommeil.

Il arrive que la combinaison de deux mots laisse songeur. N’est-ce pas le propre du poète, dans sa liberté d’expression, que d’associer des images qui provoquent ?

Même sans l’aide de l’ordinateur, on peut composer des textes. Il s’agit simplement de préparer des îlots de mots dans lesquels on choisira au hasard un mot qui sera placé à tel endroit selon la structure de la phrase imaginée. Le tableau ci-après contient six mots par section. Il s’agit de choisir un mot dans chacune pour construire une phrase.

À l’aide d’un dé, par exemple, qui donnerait successivement 2, 5, 4, 2, 3, on aurait : Mon frère déteste ma chemise. Le choix des mots dans chaque îlot est important.

# 1460             6 janvier 2015

Problèmes en rimes (2)

Pierre-Léon Chavignaud a écrit une arithmétique unique. Son livre Nouvelle arithmétique publié à Lyon en 1847 est en vers. Vous avez bien lu, le tout est rempli de rimes. Voici deux problèmes :

Problème 1

Quelqu'un est convenu d'acquitter en cinq ans

Une somme qu'il doit : chacun de ces paiements,

Est quatre fois plus fort que celui qui précède,

Et le dernier de tous ; qui suivant eux succède,

S'élève à cinq cent douze ; or, le calculateur

Demande le premier* que fit le débiteur ?

*premier paiement

Solution 1

Pour pouvoir découvrir quel est ce premier terme,

Il faut chercher d'abord et voir ce que renferme

Le nombre cinq cent douze, en cherchant à la fois

La puissance indivise à ce nombre de fois

Que contient cinq moins un de la raison connue,

Quatre offre donc ici pour valeur obtenue,

Deux cent cinquante-six ; l'utile quotient

Dit qu'il donna deux francs à son premier paiement.

Problème 2

On dit qu'une personne a, la première année,
Dépensé dix ducats ; d'après cette donnée,
Sachant que tous les ans, en objets superflus,
Elle a, sans réfléchir, consommé trois fois plus,
Que jusqu'à huit cent dix s'éleva la dernière ;
De sa conduite enfin, qui semble irrégulière,
On désire savoir par de justes succès,
Combien d'ans ont duré ses frivoles excès.

Solution 2

Pour trouver ce qu'on cherche, il faut que je divise,
D'après un moyen sûr, qu'un principe autorise
Les huit cent dix par dix, j'obtiens quatre-vingt-un.
Or, je vois, tout d'un coup, par un art opportun,
Que c'est du nombre deux la cinquième puissance ;
C'est donc pendant cinq ans que dura sa dépense.