# 6865              21 avril 2023

Carrés magiques de A à Z

Cet article présente une grande partie des termes reliés aux carrés magiques. On y trouve des définitions avec des exemples. La plupart des textes et des grilles proviennent du Dictionnaire de mathématiques récréatives publié dans le site web Récréomath. Ce résumé a été fait dans le but de rassembler les connaissances de base sur ce sujet en un seul document.

Algébrique (Carré)

Carré magique d’ordre pair, subdivisé en quatre carrés concourants au centre, dans lequel la somme des nombres de chaque section est égale à la densité ou constante du carré magique. Voici un exemple :

La somme des éléments de chaque carré 2 × 2 est 34, tout comme la densité.

Antimagique (Carré)

Arrangement carré d'entiers consécutifs à partir de l'unité, pour lequel toutes les sommes des nombres de chaque ligne, de chaque colonne et de chaque diagonale principale sont différentes et forment une suite d'entiers consécutifs. Voici un exemple :

Les sommes sont des entiers de 29 à 38.

Antitruqué (Carré magique)

Arrangement carré d'entiers naturels quelconques différents et disposés de telle manière que, sur toute ligne ou sur toute colonne, les éléments adjacents pris deux à deux sont premiers entre eux et qu'obliquement les éléments adjacents pris également deux à deux ont au moins un facteur commun. Voici un exemple :

Par exemple, 5 et 2 sont premiers entre eux. De plus, 5 et 15 ont un facteur commun.

Arithmétique (Carré magique)

Carré magique dans lequel on fait la somme des nombres de chaque rangée. On l’oppose au carré magique géométrique dans lequel on fait le produit des nombres. Voici un exemple de carré arithmétique :

La densité est 36. Dans la pratique, quand on parle de carré magique, il s’agit du carré magique arithmétique.

Arithmo-géométrique (Carré magique)

Carré qui est magique quand on additionne ses éléments et également quand on les multiplie.

La densité de ce carré magique d'ordre 8 est 840 quand on additionne les éléments, et 2 058 068 231 856 000 quand on les multiplie.

Associé (Carré magique)

Carré magique d’ordre n dans lequel toute paire de nombres placés dans des cases diamétralement équidistantes du centre a une somme constante. Si n est impair, la case qui est l'intersection des deux diagonales constitue le centre ; si n est pair, le point où les deux diagonales se rencontrent est considéré comme le centre. Voici un exemple :

Chaque paire de nombres équidistants du centre a respectivement une somme de 26. C’est le cas de 9 et 17, de 12 et 14, de 15 et 11.

Bimagique (Carré)

Carré magique qui est également magique si on élève chacun de ses éléments au carré. Voici un carré bimagique d’ordre 8 dû au Britannique Henry E. Dudeney en 1917.

La densité est 260 au premier degré et 11 180 au second degré.

Bordures (Carré magique à)

Carré magique d'ordre n qui peut être subdivisé en (n - 4)/2 carrés magiques lorsque n est pair, et en (n - 3)/2 carrés magiques lorsque n est impair. Les éléments des carrés internes appartiennent à tous les plus grands carrés dont ils forment un sous-ensemble. Voici un exemple de carré magique d'ordre 8 à bordures :

Les densités des carrés d'ordres 8, 6 et 4 sont respectivement 260, 195 et 130.

# 6875              27 avril 2023

Carrés magiques de A à Z

Brisée (Diagonale)

Dans une grille carrée d'ordre n, toute séquence de n éléments contenus dans deux rangées parallèles à une diagonale principale.

Cette grille carrée d'ordre 4 contient six diagonales brisées : (1, 8, 11, 14), (2, 5, 12, 15), (3, 6, 9, 16), (4, 5, 10, 15), (3, 8, 9, 14) et (2, 7, 12, 13). Les diagonales autres que brisées sont dites principales.

Cabalistique (Carré)

Carré qui est à la fois diabolique à la première puissance et magique à la seconde puissance c’est-à-dire quand on élève chaque élément au carré. Voici un carré cabalistique d'ordre 8 proposé en 1976 par les Américains William H. Benson et Oswald Jacoby :

Ce carré cabalistique est normal. Sa densité est 260 à la première puissance et 11 180 à la seconde puissance.

Case

Chacun des petits carrés d’un carré magique. On emploie parfois le mot cellule.

Cellule

Chacun des petits carrés d’un carré magique. On emploie ordinairement le mot case.

Châssis (Carré magique à)

Carré magique dans lequel un ensemble d'éléments est disposé en forme de châssis formant ainsi un autre carré magique. Émile Fourrey a donné le carré magique à châssis donné à gauche.

La densité du carré magique à châssis est 111. Le second carré est formé par les éléments placés dans les châssis. Il est aussi magique et sa densité est 74.

Colonne

Séquence d'objets alignés perpendiculairement au plan dans une figure. Une grille carrée d'ordre n est formé de n colonnes. Le carré magique suivant contient trois colonnes.

Aussi appelée rangée verticale.

Compartiments (Carré magique à)

Carré magique d'ordre n qui peut être partagé en carrés magiques d'un autre même ordre sans vide et sans empiétement. Voici un carré magique d’ordre 9 à compartiments :

Ce carré magique est normal. Sa densité est 369. Il est composé de neuf petits carrés magiques d'ordre 3 dont les densités forment une suite arithmétique : 15, 42, 69, 96, 123, 150, 177, 204, 231. La raison de la suite est 27.

Complémentaire (Carré magique)

Carré magique qui est formé, à partir d’un carré magique, en soustrayant chaque élément de son plus grand nombre augmenté de l’unité. Le second carré magique ci-après est formé en soustrayant de 17 les éléments du premier carré magique.

Lorsque le carré magique initial est normal, le second l’est aussi.

# 6890              6 mai 2023

Carrés magiques A à Z (suite)

Composé (Carré magique)

Carré magique formé par n² nombres non premiers. Voici un carré magique composé d'ordre 3 dont la densité est 354 :

Concentrique (Carré magique)

Autre appellation de carré magique à bordures.

Constante

Autre appellation de densité dans un carré magique.

Correspondant (Élément)

Tout élément disposé dans la même position qu’un autre élément dans deux carrés magiques de même grandeur.

Croix (Carré magique à)

Carré magique dans lequel l'ensemble des éléments en dehors de la croix forme un autre carré magique. Émile Fourrey a donné ce carré magique à croix :

Le grand carré magique a une densité de 111, et le carré magique d'ordre 4, celui en dehors de la croix, a une densité de 74. De plus, la somme des nombres de chacun des neuf carrés distincts 2 × 2 est égale à 74.

Curieux (Carré magique)

Carré magique qui possède des propriétés particulières à l’aide desquelles très peu d'autres carrés magiques peuvent être construits. Joseph S. Madachy mentionne un carré diabolique d'ordre 7, construit par un détenu, qui contient seulement des nombres premiers et dont la densité est 27 627. Son caractère curieux vient du fait qu'en effaçant l'unité de chaque élément du carré on obtient un second carré diabolique. Sa densité est 2760. Voici ce carré magique :

Degré

Dans un carré magique, toute valeur attribuée à une cellule laquelle correspond au nombre de rangées d'éléments qui passent par cette cellule. Le degré de chaque cellule est indiqué dans ce carré d’ordre 4.

Densité

Somme constante des nombres de chaque ligne, de chaque colonne et de chaque diagonale principale dans un carré magique. Cette somme est unique. Dans le carré magique ci-après, la densité est 34.

Certains auteurs parlent de constante ou de somme magique.

Dentelé (Carré)

Autre façon de distribuer les nombres dans une grille carrée. Dans le carré ci-après, on compte six diagonales, puis une ligne et une colonne de trois éléments.

Ce carré est magique. La somme des nombres de chacune des huit rangées de trois cellules est 15.

# 6905              15 mai 2023

Carrés magiques A à Z (suite)

Diabolique (Carré)

Nom donné par Édouard Lucas (1842-1891) à un carré magique d'ordre n ayant une propriété additionnelle, c'est-à-dire que la somme des n nombres de chaque diagonale brisée est aussi égale à la densité. Voici un carré diabolique d’ordre 4 :

Par exemple, l’une des diagonales brisées contient 1, 4, 16, 13 dont la somme est 34, tout comme la densité du carré magique.

Diagonale

Dans une grille carrée d’ordre n, toute séquence de n éléments alignés qui ne forment pas une rangée horizontale ou verticale. Chaque carré magique est constitué de deux diagonales. Ces diagonales peuvent être de gauche (celle qui part de la case supérieure gauche) et de droite (celle qui part de la case supérieure droite).

La diagonale de gauche est formée de 1, 11, 15 et 7. On les appelle parfois diagonales principales quand on considère les diagonales brisées.

Différent (Carré magique)

Carré magique qui ne provient pas d’une rotation ou d’une symétrie sur un autre carré magique de même ordre. Les deux carrés magiques d’ordre 4 illustrés sont différents.

Dürer (Carré de)

Carré magique normal d'ordre 4 qui apparaît sur la gravure Melencolia de l'artiste allemand Albrecht Dürer.

Les deux nombres du centre de la ligne inférieure indiquent l'année de la création de cette œuvre artistique, soit 1514.

Élément d’un carré magique

Tout nombre qui appartient à un carré magique. Un carré magique d'ordre n contient n² éléments.

Enceintes (Carré magique à)

Autre appellation de carré magique à bordures.

Équivalent (Carré magique)

Carré magique d'ordre n qui est formé par rotation ou par symétrie à partir d’un autre carré magique. Les deux carrés magiques d’ordre 4 ci-après sont équivalents. Le second a été obtenu par une rotation de 90 degrés dans le sens antihoraire à partir du premier.

Deux carrés magiques équivalents ont nécessairement la même densité.

Franklin (Carré de)

Carré semi-magique imaginé par l'américain Franklin, qui a un grand nombre de propriétés.

Entre autres propriétés, la somme des éléments des lignes et des colonnes est égale à 260. La somme des carrés 2 × 2 distincts est égale à 130.

Frénicle (Carré de)

Carré magique imaginé par le mathématicien Frénicle dans lequel certaines cellules ne comportent aucun nombre.

La densité de ce carré magique est 50.

Général (Carré magique)

Carré magique formé de variables qui peut générer autant de carrés magiques que l’on veut en attribuant des valeurs arbitraires à chaque variable. Le carré magique général de gauche permet le carré magique de droite lorsque k = 13, x = 4 et y = 5.

Géométrique (Carré magique)

Carré dans lequel le produit des éléments de chaque ligne, de chaque colonne et de chaque diagonale est identique. Le plus petit carré magique géométrique d’ordre 3 qui contient des entiers différents est :

Sa densité est 216.

# 6915              21 mai 2023

Carrés magiques A à Z (suite)

Homogène (Carré magique)

Carré magique formé d’éléments identiques. Voici un carré magique homogène d’ordre 3 :

Jaïna (Carré)

Carré magique normal d'ordre 4 trouvé à Kharujaho en Inde dans une inscription du 11^e ou 12^e siècle et qui est le plus ancien carré magique connu. Ce carré, aussi appelé carré de Kharujaho, est diabolique. Voici ce carré :

Kharujaho (Carré)

Aussi appelé carré Jaïna.

Ligne

Séquence d'objets alignés parallèlement au plan dans une figure. Une grille carrée d'ordre n est formée de n lignes. Le carré magique suivant contient trois lignes.

Aussi appelée rangée horizontale.

Magico-magique (Carré)

Carré magique général d'ordre 4 proposé par Fermat (1601-1665), qui contient 24 sommes magiques : les quatre lignes, les quatre colonnes, les deux diagonales principales, les deux diagonales brisées séparées en leur moitié, les quatre petits carrés 2 × 2 aux sommets du carré, les quatre figures formées par les sommets d'un carré 3 × 3, une figure qui comprend les quatre sommets du carré, une autre qui comprend un carré 2 × 2 au centre, et les deux dernières les sommets d'un rectangle 2 × 4 placés horizontalement ou verticalement au centre du carré. Chacune des huit variables est indépendante l'une de l'autre et peut recevoir toute valeur arbitraire. En attribuant les valeurs a = 0, b = 4, c = 8, d = 12, p = 1, q = 2, r = 3 et s = 4, on obtient le carré magico-magique dont la densité est 34.

La densité correspond à la somme des huit variables.

Magique (Carré)

Grille carrée d’ordre n dans laquelle les n² cases ou cellules contiennent des nombres disposés de telle manière que leur somme est toujours la même sur chaque ligne, dans chaque colonne et dans chacune des deux diagonales principales. Voici un carré magiques composé de nombres décimaux dont la densité est 6,5 :

Magique (Somme)

Autre appellation de densité.

Médian

Élément commun aux deux diagonales principales dans une grille carrée d'ordre impair. Une grille carrée d'ordre 2n n'a pas de médian. Dans un carré magique d'ordre 3, le médian est égal au tiers de la densité et à la demi-somme des deux autres éléments dans chaque rangée. Dans le carré magique suivant, le médian est 25.

Multimagique (Carré)

Carré magique qui est également magique si on élève chacun de ses éléments successivement à une même puissance en ordre numérique constant. Les carrés sont dits bimagiques, trimagiques, tétramagiques, pentamagiques, … selon que la puissance est respectivement 2, 3, 4, 5, ...

Nasik (Carré)

Autre appellation de carré diabolique.

Normal (Carré magique)

Carré magique dans lequel on place les nombres de 1 à n² où n est l’ordre du carré. Par exemple, dans un carré magique d’ordre 4, on place les nombres de 1 à 16.

Nul (Carré magique)

Carré magique formé de zéros. Voici un carré magique nul d’ordre 3 :

Le carré magique nul est un carré magique homogène.

Oblique (Rangée)

Se dit de toute rangée qui n’est ni horizontale, ni verticale, ni diagonale dans un carré magique.

Ordre d’un carré magique

Nombre de lignes ou de colonnes dans un carré magique. Par exemple, une grille carrée 5 × 5 est le support d’un carré magique d’ordre 5.

Orthogonale (Rangée)

Se dit de toute rangée horizontale ou de toute rangée verticale dans un carré magique. Une grille carrée 3 × 3 a six rangées orthogonales : trois rangées horizontales et trois rangées verticales. Un carré d'ordre n est composé de 2n rangées orthogonales.

Pandiagonal (Carré magique)

Autre appellation de carré diabolique.

Panmagique (Carré)

Autre appellation de carré diabolique.

Pentamagique (Carré)

Carré magique qui est également magique si on élève chacun de ses éléments successivement au carré, au cube, à la puissance quatrième et à la puissance cinquième.

Premier (Carré magique)

Carré magique dont tous les éléments sont des nombres premiers. Les trois carrés magiques suivants sont premiers :

La densité du premier carré magique est 213 ; celle du deuxième est 471 ; celle du troisième 1263.

Principale (Diagonale)

Toute diagonale qui joint deux sommets non consécutifs dans un carré magique. Dans une grille carrée d'ordre n, toute séquence de n éléments disposés en une rangée qui n’est pas orthogonale. Une grille carrée a deux diagonales principales.

Rangée

Ensemble d’objets disposés en ligne droite ou selon une certaine symétrie. On considère que les lignes, les colonnes et les diagonales sont des rangées.

Renversé (Carré magique)

Carré magique qui demeure magique quand on remplace tout élément par son renversé dans toute cellule correspondante. Voici deux carrés magiques mutuellement renversés :

La densité du premier est 60 et celle du second est 204.

# 6925              27 mai 2023

Carrés magiques A à Z (suite)

Réversible (Carré magique)

Carré magique dont les chiffres sont réversibles et qui demeure magique à la suite d'une rotation de 180 degrés du carré sans que ses éléments bougent. La densité de chacun des deux carrés magiques est 264.

Semi-diabolique (Carré)

Carré magique d'ordre n ayant la propriété additionnelle suivante : la somme des n nombres d’au moins une et au plus (n – 1) diagonales brisées par rapport à chacune des deux diagonales principales est égale à la densité. Voici deux carrés semi-diaboliques dans chacun desquels l'une des diagonales brisées est illustrée :

Semi-géométrique (Carré)

Grille carrée d'ordre n dans laquelle les n2 cases ou cellules contiennent des nombres disposés de telle manière que la somme des produits de chaque ligne et la somme des produits de chaque colonne sont égales. Neuf nombres successifs de la suite de Fibonacci ou de la suite de Lucas disposés dans le même ordre que dans un carré magique permettent la formation d'un carré semi-géométrique d'ordre 3. La première figure est un carré magique normal servant de modèle. La deuxième figure est un carré semi-géométrique formé des neuf premiers nombres de la suite de Fibonacci, le premier 1 étant omis. La troisième figure est un carré semi-géométrique formé des neuf premiers nombres de la suite de Lucas. La quatrième figure est un carré semi-géométrique général.

La somme est 1496 dans le deuxième carré, 3718 dans le troisième et 34a3 + 133a2b + 167ab2 + 66b3 dans le quatrième. On peut former une infinité de carrés semi-géométriques en donnant à a et à b des valeurs arbitraires.

Semi-magique (Carré)

Grille carrée dont les cellules contiennent des nombres disposés de telle manière que leur somme est toujours la même sur chaque ligne et dans chaque colonne, mais non sur chaque diagonale principale. Le carré semi-magique, vu ses propriétés limitées, revêt peu d'intérêt. Voici trois carrés semi-magiques :

Ces trois carrés semi-magiques sont normaux. La densité du premier est 15, celle du deuxième 34 et celle du troisième 65.

Simple (Carré magique)

Carré magique qui n’est ni diabolique ni semi-diabolique. Selon Frénicle (v. 1605 - 1675), il existe 448 carrés magiques simples d'ordre 4. Ils sont distribués en cinq types, soit de VI à XII. Pour chaque type, huit paires de nombres dont la somme est 17 occupent des positions différentes. Un carré magique est donné pour le type VI.

Surtruqué (Carré magique)

Nom donné par Pierre Berloquin à un carré qui est à la fois antitruqué et magique. Voici un carré surtruqué d'ordre 4 dont la densité est 90 :

Talismanique (Carré)

Arrangement de n2 entiers à partir de l'unité, disposés en un carré d'ordre n, tel que la différence entre tout entier donné et chacun de ses voisins horizontalement, verticalement et obliquement est plus grande que l'unité. Le carré talismanique a été imaginé par Sidney Kravitz. Voici trois carrés talismaniques :

Dans le premier carré, 1 a trois voisins : 3, 8 et 10. Les différences successives par rapport à 1 sont 2, 7 et 9 ; pour tout entier, la plus petite différence est 2. Dans le deuxième carré, la plus petite différence est également 2. Elle est de 3 dans le troisième. Le deuxième carré talismanique est magique. Il existe 24 carrés d'ordre 4 qui sont en même temps magiques et talismaniques.

Tétramagique (Carré)

Carré magique qui est également magique si on élève chacun de ses éléments successivement au carré, au cube et à la puissance quatrième. Les Français Christian Boyer et André Viricel ont produit en 2001 un premier carré tétramagique : c’est un carré magique d’ordre 512. Il contient tous les entiers de 0 à 262 143. La densité du carré magique du premier degré est 67 108 608. De plus, si on remplace chaque élément par sa puissance cinquième, la somme des éléments est identique sur chaque ligne. Lorsqu’on additionne 1 à chaque élément, le carré conserve toutes ses propriétés et il a la particularité d’être normal.

Toroïdal (Carré)

Autre appellation de carré diabolique.

Trimagique (Carré)

Carré magique qui est également magique si on élève chacun de ses éléments successivement au carré et au cube. Le plus petit carré trimagique connu a été produit par l’Allemand Walter Trump en juin 2002. Il est d’ordre 12 et contient les entiers de 1 à 144. Le voici :