# 6855               15 avril 2023

Des éléphants et des gazelles

Une des propriétés des mathématiques discrètes est de s’intéresser aux entiers et de laisser de côté les nombres fractionnaires. On réfère alors à des situations de la vie courante où on ne peut pas séparer des êtres ou des objets. On peut casser un œuf, mais on ne pas avoir une fraction d’œuf. On peut avoir des animaux, mais pas des fractions d’animaux.

Souvent, en mathématiques discrètes, on peut résoudre des problèmes par l’algèbre. Il arrive que des situations comprenant deux inconnues ne puissent être représentées que par une équation. Dans ce cas, il peut exister plus d’une solution. Voici un exemple :

Problème. Des éléphants se déplacent en groupes de 3. Des gazelles se déplacent en groupes de 2. Il y a en tout 60 bêtes. Combien y a-t-il de groupes de chaque bête ?

Démarche. Soit x le nombre de groupes d’éléphants et y le nombre de groupes de gazelles. On peut écrire : 3x + 2y = 60.

Comme 60 est un nombre pair, x devra être pair. On suppose que x = 2. Alors, y = 27. On suppose que x = 4. Alors, y = 24. On continue. Voici un tableau qui donne toutes les possibilités :

On note que les valeurs de x sont divisibles par 2 comme dans 2y et que les valeurs de y sont divisibles par 3 comme dans 3x.

Bref, il y a neuf solutions possibles : (2, 27), (4, 24), (6, 21), etc.

Conditions. Pour s’assurer qu’il y a une seule solution, on devrait ajouter d’autres conditions. Par exemple,

Condition 1. En tout, le nombre de groupes est 26. Dans ce cas, il y a 8 groupes d’éléphants et 18 groupes de gazelles.

Condition 2. Le nombre de groupes d’éléphants est le même que celui de gazelles. Dans ce cas, il y a 12 groupes d’éléphants et 12 groupes de gazelles.

Condition 3. Le nombre de groupes de gazelles est six fois plus grand que celui des éléphants. Dans ce cas, il y a 4 groupes d’éléphants et 24 groupes de gazelles.

Condition 4. Le nombre de groupes d’éléphants est six fois plus grand que celui des gazelles. Dans ce cas, il y a 18 groupes d’éléphants et 3 groupes de gazelles.

Condition 5. En tout, le nombre de groupes est le plus grand possible. Dans ce cas, il y a 2 groupes d’éléphants et 27 groupes de gazelles.

Résolvez ce problème

Marco achète des paniers de pommes à trois pistoles le panier. Il achète aussi des paniers de pêches à cinq pistoles le panier. Le coût total est de 58 pistoles.

Combien a-t-il acheté de paniers de chaque sorte ?

Comme il n’y a pas une solution unique, il s’agit de trouver toutes les possibilités.

# 6845               9 avril 2023

Vers des égalités de carrés

Il existe plusieurs procédés pour trouver n carrés dont la somme est égale à celle de n autres carrés. Nous présentons un procédé qui se base sur le choix initial de deux nombres.

Six carrés

On dispose six nombres comme ceci si bien que a₁, a₂ et a₃ forment le premier membre de l’égalité et les trois autres éléments le deuxième membre.

Premier cas

On pose a₁ = 1 et a₆ = 2. On choisit une somme que j’appellerai horizontale (H) et qui est divisible par 3, par exemple 21. Cette somme vaut pour chaque ligne. On déduira une autre somme que j’appellerai verticale (V) et qui est les deux tiers de la somme horizontale. Dans ce cas-ci, la somme verticale est : 21 × 2/3 = 14.

Comme V = 14, a₃ = 12. Comme H = 21, a₂ = 8. Comme V = 14, a₄ = 13 et a₅ = 6. Les six nombres sont les bases de chaque membre de l’égalité. En ajoutant l’exposant 2, on obtient :

1² + 8² + 12² = 2² + 6² + 13² = 209

À partir des bases de cette égalité, on peut additionner, soustraire, multiplier et diviser un même nombre et obtenir autant d’égalités. Certaines pourront contenir des nombres négatifs ou des nombres factionnaires tout en demeurant vraies.

Deuxième cas

On pose a₁ = 1 et a₆ = 3. Par exemple, on choisit 24 comme somme horizontale. Dans ce cas-ci, la somme verticale est : 24 × 2/3 = 16.

Comme V = 16, a₃ = 13. Comme H = 24, a₂ = 10. Comme V = 16, a₄ = 15 et a₅ = 6. Les six nombres sont les bases de chaque membre de l’égalité. En ajoutant l’exposant 2, on obtient :

1² + 10² + 13² = 3² + 6² + 15² = 270

On peut faire varier la valeur de a₁ et de a₆ à sa guise.

Huit carrés

On procède de la même façon. On dispose les huit nombres ainsi.

On pose a₁ = 1 et a₈ = 2. La somme choisie doit être un nombre pair. Par exemple, H = 24. Alors, V = 12 qui correspond à la moitié de 24. Comme V = 12, a₄ = 10 et a₅ = 11.

Il manque deux nombres sur la ligne 1. Le choix de ces nombres doit obéir à cette règle :  aucun de ces nombres ne doit être la moitié de la somme horizontale.

Dans ce cas, il manque 13 sur la première ligne. On n’a pas le droit de choisir 6 et 7 car 6 est la moitié de 12. On peut choisir : a₂ = 5 et a₃ = 8. On déduit : a₆ = 7 et a₇ = 4. L’égalité est :

1² + 5² + 8² + 10²  = 2² + 4² + 7² + 11² = 190.

On peut faire varier la valeur de a₁, et de a₈ à sa guise.

Dix carrés

On dispose les 10 nombres ainsi.

On pose a₁ = 1 et a₁₀ = 2. La somme choisie doit être un multiple de 5. Pour trouver la somme verticale, on multiplie par 2/5. Par exemple, H = 40. Alors, V = 16. D’où, a₅ = 14 et a₆ = 15.

Il manque trois nombres sur la ligne 1. Le choix de ces nombres doit obéir à ces deux règles :  aucun de ces nombres ne doit être la moitié de la somme horizontale et aucune paire de nombres ne doit être égale à la somme horizontale.

Sur la première ligne, on peut choisir : a₂ = 3, a₃ = 10 et a₄ = 12. On déduit : a₇ = 13, a₈ = 6, a₉ = 4. L’égalité est :

1² + 3² + 10² + 12² + 14²  = 2² + 4² + 6² + 13² + 15²  = 450.

Autres situations

Le procédé peut être appliqué dans tous les autres cas de nombres pairs de carrés. Le rapport de la somme horizontale à la somme verticale est donné dans ce tableau.

De façon générale, V = H × 4/n où n est le nombre de carrés.

Mise en situation

Trouvez six carrés qui peuvent faire partie du deuxième membre de l’égalité quand on connaît les six carrés donnés du premier membre.

1² + 3² + 7² + 15² + 16² + 18²  = ?

# 6835               3 avril 2023

Mises à quatre joueurs

Nous vous présentons trois problèmes de mises qui comportent quatre joueurs.

Problème 1. Quatre joueurs conviennent qu'à chaque partie le perdant doublera l'argent des trois autres. Ils perdent chacun une partie et quittent le jeu avec chacun 80 pistoles.

Combien chaque joueur avait-il en se mettant au jeu ?

Le tableau suivant, lu à rebours, illustre le déroulement du jeu et est donné afin de soutenir l’analyse donnée.

Analyse. Des données du tableau, on peut déduire que le montant lors de la mise au jeu

· du premier joueur est : 80 × 2 + 5 = 165.

· du deuxième joueur est : 165 – 80 = 85 ou encore (165 + 5)/2 = 85

· du troisième joueur est : 85 – 80/2 = 45 ou encore (85 + 5)/2 = 45

· du quatrième joueur est : 45 – 80/4 = 25 ou encore (45 + 5)/2 = 25.

La mise des joueurs est respectivement 165, 85, 45 et 25 pistoles.

Problème 2. Quatre joueurs conviennent qu'à chaque partie le perdant doublera l'argent des trois autres. Ils perdent chacun une partie et quittent le jeu avec chacun 16 pistoles.

Combien chaque joueur avait-il en se mettant au jeu ?

Analyse 1. Le premier joueur a 16/8 = 2 au premier tour. Il reste 62 pour les trois autres. Or, chacun à ce moment a le double de sa mise. Celle-ci était : 62/2 = 31. La mise du premier joueur est de : 64 – 31 = 33.

Le deuxième joueur a : 16/4 = 4 au deuxième tour. Il reste 60 pour les trois autres. Or, chacun a à ce moment le double de sa mise. Celle-ci est : 60/2 = 30. Au premier tour, le deuxième joueur a : 64 – 30 = 34. Sa mise est de 34/2 = 17.

Le troisième joueur a : 16/2 = 8 au troisième tour. Il reste 56 pour les trois autres. Or, chacun a à ce moment le double de sa mise. Celle-ci est : 56/2 = 28. Au deuxième tour, le troisième joueur a : 64 – 28 = 36. Sa mise est de 36/4 = 9.

Le quatrième joueur a : 64 – (33 + 17 + 9) = 5.

Analyse 2. Après avoir établi que la mise du premier joueur est 33. On additionne 1 et on divise par 2 pour trouver la mise du deuxième joueur. On continue ainsi pour les autres.

Deuxième joueur : (33 + 1)/2 = 17

Troisième joueur : (17 + 1)/2 = 9

Quatrième joueur : (9 + 1)/2 = 5

La mise des joueurs est respectivement 33, 17, 9 et 5 pistoles.

Problème 3. Quatre joueurs conviennent qu'à chaque partie le perdant donnera une fois et demie l'argent des trois autres. Ils perdent chacun une partie et quittent le jeu avec chacun 81 pistoles.

Combien chaque joueur avait-il en se mettant au jeu ?

Solution. En vous inspirant de ce tableau, nous vous laissons le soin de trouver une démarche.

# 6825               27 mars 2023

Mises à trois joueurs

Certains problèmes peuvent permettre plusieurs démarches dans leur résolution. C’est le cas du problème suivant.

Problème. Trois joueurs conviennent qu'à chaque partie le perdant doublera l'argent des deux autres. Ils perdent chacun une partie et quittent le jeu avec chacun 16 pistoles.

Combien chaque joueur avait-il en se mettant au jeu ?

Démarche 1. Désignons dans l’ordre les mises initiales par x, y, z. À chaque partie, le perdant double le montant de chacun des deux autres et le sien est diminué d’autant. Ce tableau illustre le déroulement du jeu.

Comme chaque joueur a 16 pistoles à la fin, on peut puiser trois équations sur la dernière ligne :

4(x – y – z) = 16

2 (-x + 3y – z) = 16

-x – y – 7z = 16

On résout ce système d’équations. On obtient : x = 26, y = 14 et z = 8.

Le premier joueur avait 26 pistoles, le deuxième 14 pistoles et le troisième 8 pistoles.

Démarche 2.  La personne qui joue le premier a x pistoles. D’après le tableau, à la fin, il lui restera 4(x – y – z) = 16. D’où, x – y – z = 4. Sachant que x + y + z = 48 (c’est le montant en jeu), par les deux équations, on trouve que x = 26.

Pour trouver la valeur de y, on fait : 2 (-x + 3y – z) = 16 et x + y + z = 48. D’où, y = 14. Comme x = 26 et y = 14, alors z = 8.

Démarche 3. La personne qui joue le premier a x pistoles. Soit M le montant en jeu qui est de 48 pistoles, après avoir joué, elle paie aux autres joueurs (M – x). Il lui restera (2x – M). Au tour suivant, elle aura 2(2x – M), puis au troisième tour 4(2x – M). Or, 4(2x – M) = 16. On déduit que x = 26.

La personne qui joue le deuxième a y pistoles. Après avoir joué, il paie (M – 2y). Il lui reste alors 2y – (M – 2y), ce qui est égal à (4y – M). Après la troisième partie, elle aura 2(4y – M) = 16. On déduit que y = 14.

Il s’ensuit que z = 8.

Démarche 4. À la fin, le premier joueur a 16 pistoles. Après le deuxième tour, il en a la moitié moins, soit 8 pistoles. Après le troisième tour, il en encore la moitié moins soit 4 pistoles. On peut écrire : x – (y + z) = 4. Comme le montant du premier joueur est 4, on peut écrire : x – (48 – x) = 4. Alors, x = 26, puis y + z = 22.

D’une valeur à l’autre, on applique une régularité :

y = (x + 2)/2 et z = (y + 2)/2. D’où, y = 14 et z = 8.

Démarche 5. Soit a le facteur qui multiplie par 8 la part de chacun à la fin, on peut écrire :

y = (x + a)/2 et z = (y + a)/2.

D’où, z = (x + 3a)/4. On écrit l’équation suivante :

x + (x + a)/2 + (x + 3a)/4 = 48.

Puisque a = 2, on déduit que x = 26, puis y = 14 et z = 8.

Démarche 6. On procède à rebours. On part de la fin et on remonte jusqu’avant la mise au jeu.

On divise par 2 le montant des deux joueurs qui gagnent. On attribue le reste au joueur qui perd. Par exemple, quand le 3^e joueur perd, chacun des deux autres a 8 pistoles. Pour le troisième joueur, on fait : 48 – 8 – 8 = 32.

La mise des joueurs apparaît sur la première ligne du tableau : 26, 14 et 8. 

Complément

Le tableau suivant donné à titre de complément nous permet de résoudre toutes les situations où il y a trois joueurs, que chacun double le montant des autres en cas de perte et qu’à la fin chacun a le même montant. C’est un exemple de généralisation qu’il est possible de construire pour résoudre ce problème.

Par exemple, si chacun avait 12 pistoles à la fin, la mise du premier joueur serait 19,5 pistoles, celle du deuxième joueur 10,5 pistoles et celle du troisième 6 pistoles.

# 6815             21 mars 2023

Problèmes d’Euler

Leonhard Euler (1707-1783) fut un grand mathématicien. Il a excellé dans plusieurs domaines des mathématiques dont l’algèbre, la théorie des nombres, la géométrie et la trigonométrie. Ses écrits sont fort nombreux.

L’un de ses livres est intitulé Éléments d’algèbre. Le deuxième tome traite de l’analyse indéterminée. Un problème est indéterminé lorsqu'il renferme plus d'inconnues que d'équations possibles. De ce fait, il y a généralement plus d’une réponse. Comme on est parfois en arithmétique discrète, soit avec les entiers, le nombre de réponses est quand même assez souvent limité.

Nous avons puisé cinq problèmes dans Éléments d’algèbre. Euler les a résolus au moyen de l’algèbre où on peut poser une seule équation alors qu’il y a deux inconnues. Pour notre part, nous allons solutionner les trois premiers problèmes au moyen de tableaux en s’appuyant sur les propriétés des nombres, en particulier sur la théorie du reste qu’on appelait autrefois résidu en arithmétique.

Problème 1. Deux paysannes ont ensemble 100 œufs. L'une dit à l'autre : Quand je compte mes œufs  par huitaines, il y a un surplus de 7. La seconde répond : Si je compte les miens par dizaines, je trouve le même surplus de 7.

On demande combien chacune avait d'œufs ? (p. 6)

Solution. On construit un tableau dans lequel, sur la première ligne, on écrit les multiples successifs de 8 augmentés de 7, sur la deuxième ligne, le complément de 100 et sur la troisième ligne le reste de la division par 10 du dernier résultat.

Le reste est 7 dans deux cas. Il y a donc deux possibilités :

La première a 23 œufs, la seconde 77 œufs.

La première a 63 œufs, la seconde 37 œufs.

Problème 2. Une troupe d'hommes et de femmes a dépensé dans une auberge 1000 sous. Les hommes ont payé 19 sous chacun et les femmes 13 sous.

Combien y avait-il d'hommes et de femmes ? (p. 7)

Solution. On construit un tableau dans lequel, sur la première ligne, on écrit le nombre d’hommes à partir de 1, sur la deuxième ligne les multiples de 19, sur la troisième ligne le complément de 1000, sur la quatrième ligne le reste de la division par 13.

Puisque le reste est 0 dans la troisième colonne, on compte 2 hommes. Comme les femmes ont dépensé 962 sous, on fait 962 ¸ 13 = 74. On compte 74 femmes.

On vérifie s’il existe d’autres solutions. Pour 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 hommes, le reste est ou sera successivement 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13. Comme on a divisé par 13, le reste 13 correspond à 0.

On fait : 2 + 13 = 15 : c’est un autre nombre d’hommes. On déduit qu’il y a 55 femmes.

On fait : 15 + 13 = 28 : c’est un autre nombre d’hommes. On déduit qu’il y a 36 femmes.

On fait : 28 + 13 = 41 : c’est un autre nombre d’hommes. On déduit qu’il y a 17 femmes.

Bref, il y a quatre possibilités :

2 hommes et 74 femmes

15 hommes et 55 femmes

28 hommes et 36 femmes

41 hommes et 17 femmes

Problème 3. Un fermier achète à la fois des chevaux et des bœufs pour la somme de 1770 écus. Il paye 31 écus pour chaque cheval et 21 écus pour chaque bœuf.

Combien a-t-il acheté de chevaux et de bœufs ?

Solution. Le nombre de bœufs est égal à (1770 – 31 × nombre de chevaux)/21.

Pour 1, 3, 5, 7, 9 chevaux, le reste est ou sera 17, 18, 19, 20, 21. Comme on a divisé par 21, le reste 21 correspond à 0. Si le fermier a acheté 9 chevaux, il a acheté 71 bœufs.

Comme on a divisé par 21, on fait 9 + 21 = 30.

Si le fermier a acheté 30 chevaux, il a acheté 40 bœufs.

On fait : 30 + 21 = 51.

Si le fermier a acheté 51 chevaux, il a acheté 9 bœufs.

Bref, il y a trois possibilités : 9 chevaux et 71 bœufs, 30 chevaux et 40 bœufs, 51 chevaux et 9 bœufs

Pour terminer, voici deux problèmes que l’on trouve dans le même livre :

Problème 4. Une compagnie d'hommes et de femmes se trouvent à un pique-nique. Chaque homme dépense 25 livres et chaque femme dépense 16 livres et il se trouve que toutes les femmes ensemble ont payé 1 livre de plus que les hommes.

Combien y avait-il d'hommes et de femmes ? (p. 19)

Complément. Il y a quatre possibilités si le nombre de femmes est inférieur à 100. Trouvez ces quatre possibilités.

Problème 5. Quelqu'un achète des chevaux et des bœufs. Il paye 31 écus par cheval et 20 écus pour chaque bœuf et il se trouve que les bœufs lui ont coûté sept écus de plus que ne lui ont coûté les chevaux.

Combien cet homme a-t-il acheté de bœufs et de chevaux ? (p. 15)

Complément. Il y a quatre possibilités si le nombre de bœufs  est inférieur à 100. Trouvez ces quatre possibilités.

En guise de conclusion

Une démarche basée sur l’algèbre prend généralement moins de temps. Toutefois, bien souvent, la pose d’une ou de plusieurs équations peut être ardue.

# 6800             12 mars 2023

Partage de jetons

Plusieurs problèmes peuvent être résolus algébriquement. Certains problèmes peuvent l’être en posant deux inconnues. Toutefois, la plupart du temps, on peut se contenter d’une seule inconnue. Voici deux exemples où on applique une et deux inconnues :

Problème 1. Des jetons ont été partagés également entre un certain nombre de jeunes. S’il y avait eu cinq jeunes de plus, chacun aurait reçu un jeton de moins. Mais s’il y avait eu quatre jeunes de moins, chacun aurait reçu un jeton de plus.

Cherchez le nombre de jeunes et ce que chacun a reçu.

Avec une inconnue

Il y a trois couples de facteurs. Les deuxièmes facteurs, soit ceux concernant les jetons, sont formés de nombres consécutifs : x – 1, x et x + 1.

Jeunes	Jetons
5x	x – 1	Comme il y a 5 jeunes de plus, on multiplie par 5.
5(x – 1) = 4(x + 1)	x	On multiplie par 5 et par 4.
4x	x + 1	Comme il y a 4 jeunes de moins, on multiplie par 4.

Dans le tableau, on a une égalité : 5(x – 1) = 4(x + 1). D’où, x = 9. Les trois couples de facteurs sont : (45, 8, (40, 9), (36, 10). Il y a 40 jeunes et chacun a reçu 9 jetons.

Avec deux inconnues

Soit x le nombre de jeunes et y le nombre de jetons, on peut écrire :

(x + 5)(y – 1) = xy et (x – 4)(y + 1) = xy

En résolvant le système d’équations, on trouve que x = 40 et y = 9. Il y a 40 jeunes et chacun a reçu 9 jetons.       

Problème 2. Des jetons ont été partagés également entre un certain nombre de jeunes. S’il y avait eu 32 jeunes de plus, chacun aurait reçu deux jetons de moins. Mais s’il y avait eu 18 jeunes de moins, chacune aurait reçu trois jetons de plus.

Cherchez le nombre de jeunes et ce que chacun a reçu.

Avec une inconnue

À l’instar de la solution du problème précédent, construisons un tableau.

On résout l’équation 16(x – 2) = 6(x + 3). D’où, x = 5. Les trois couples de facteurs sont : (80, 3), (48, 5), (30, 8). Il y a 48 jeunes et chacun a reçu 5 jetons.

Avec deux inconnues.

Soit x le nombre de jeunes et y le nombre de jetons, on peut écrire :

(x + 32)(y – 2) = xy et (x – 18)(y + 3) = xy

En résolvant le système d’équations, on trouve que x = 48 et y = 5. Il y a 48 jeunes et chacun a reçu 5 jetons. 

En guise de conclusion

Est-il plus facile de résoudre ces deux problèmes avec une ou deux équations ? La réponse vous appartient.

# 6790             6 mars 2023

Cycle de vie d'une récréation

Le cycle de vie d'une récréation se présente en cinq étapes : la production, la communication, la réception, la résolution et l'évaluation.

1. Notion de production d'une récréation

La production consiste à mettre en place des données et des conditions qui peuvent s'associer de façon à former une entité permettant des transformations et cela à partir :

- de matériaux connus ou inventés

- de situations vécues ou imaginées

- d'une réalité mathématique complexe ou simple.

Le produit fini est essentiellement formé de trois éléments: les données, les conditions et l'inconnue.

Phases de production

Une bonne récréation mathématique est un problème qui se présente sous une forme très simple, dont la portée mathématique est la plus large possible et qui fait valoir par elle-même un grand attrait.

Pour arriver à produire une bonne récréation, il est nécessaire de :

A. Fixer les objectifs en termes de connaissances à acquérir, d'habiletés et d'attitudes à développer.

Cette première étape suppose que le concepteur établit le niveau de connaissances, d'habiletés et d'attitudes de la personne qui aura à résoudre le problème. Le degré de difficulté de la récréation est ainsi précisé.

B. Identifier les éléments notionnels

Le concepteur choisit le contenu notionnel de la récréation : nombres, figures géométriques, probabilités, logique, mesures, opérations élémentaires, etc.

C. Rassembler toutes les données mathématiques

Le concepteur imagine et met en place des données mathématiques soigneusement choisies.

D. Identifier les conditions

Les données étant précisées, le concepteur met en place des conditions. Il est possible que les données se révèlent trop nombreuses ou trop restreintes. On doit alors réduire ou élargir les données ou encore raffiner les conditions en les enrichissant ou en les rendant plus significatives. On doit éviter d'introduire des conditions redondantes ou superflues ou encore contradictoires. On doit également s'assurer que la transformation des données ne puisse pas se faire de façon mécanique.

E. Identifier une interrogation claire

En manipulant les données et les conditions, le concepteur avait en tête une interrogation précise. Toutefois, compte tenu des données et des conditions posées, il peut devoir remplacer son interrogation par une autre plus déterminante en fonction de la quantité des solutions.

F. S'assurer de la faisabilité

Parvenu à cette étape, le concepteur doit faire un retour en confrontant d'une part les objectifs établis et d'autre part les stratégies éventuelles de résolution de la récréation. Les résultats de cette appréciation permettront d'établir la faisabilité du problème.

G. Inventer un scénario

Le concepteur doit raffiner la présentation de la récréation en la plaçant au choix dans un contexte réel, réaliste ou fantaisiste. A cet égard, il peut imaginer des noms, des faits et des situations précises. Ce contexte doit être significatif et captiver l'intérêt. Si le contexte est purement mathématique, il n'y a généralement pas de mise en place d'un scénario.

H. Réaliser la présentation

Toutes les informations doivent contenir des éléments susceptibles d'être traduits en langage mathématique. Il faut éviter le fouillis de détails, les mots superflus, les périphrases déroutantes, l'emploi d'un vocabulaire recherché ou inexact. De même, les illustrations doivent être soigneusement choisies. Elles peuvent être parties intégrantes du problème ou simplement le supporter. En somme, le texte et les illustrations doivent être très simples et exempts de pièges malicieux.

I. Apprécier la qualité du produit fini

A cette étape, le concepteur évalue la qualité d'une récréation en fonction de la valeur de ses éléments constitutifs - données, conditions et inconnue - et des éléments de présentation.

2. Communication d'une récréation

La récréation peut être communiquée par des moyens divers :

- un énoncé oral

- un énoncé écrit

- un énoncé oral accompagné de gestes

- un énoncé oral ou écrit accompagné de dessins, de tableaux, de figures, de formules ou de propositions mathématiques

- un énoncé oral ou écrit accompagné d'un matériel de manipulation : jetons, tabliers, blocs logiques, solides géométriques, matériel de construction, etc.

- par l'intermédiaire de l'audio-visuel

 par l'intermédiaire de l'informatique

Une récréation ne doit pas être réduite à un problème de compréhension de texte. Il faut distinguer entre le mode de présentation d'une récréation et la récréation elle-même. L'énoncé et les illustrations sont des objets concrets, visibles et fixes ; le problème est un objet abstrait qui change à mesure que progresse la compréhension de l'énoncé et des illustrations. Le problème prend son sens dans la représentation mentale de l'élève.

Cadres de communication en classe

Les récréations peuvent être communiquées de diverses façons.

A. Communication à toute la classe d'une récréation qui doit être résolue individuellement, en équipes ou en grand groupe.

B. Accès à des cartes contenant des récréations.

C. Problème de la semaine avec tableaux de suivi.

D. Participation à des concours trimestriels ou annuels.

E. Pose de posters ou de grands cartons.

F. Recueil de récréations puisées ailleurs, composées par l'enseignant(e) ou par les élèves.

3. Réception d'une récréation

Un problème de la vie courante est formé par un ensemble d'éléments provenant de la nature, de son environnement et du hasard. Ces éléments parviennent à la personne généralement à petites doses. Une récréation est un problème artificiel structuré et présenté globalement. Plusieurs facteurs peuvent avoir une influence positive ou négative sur la réception d'une récréation.

A. Le problème

La réaction de l'élève varie selon le mode de communication et selon la nature de l'énoncé : données explicites ou implicites, données insuffisantes, données extérieures à l'élève, conditions contradictoires, données insuffisantes, question posée ambiguë ou tâche à accomplir hors de sa portée, etc.

B. L'élève

Il est essentiel que l'élève puisse s'approprier la récréation, tant au niveau cognitif qu'affectif. Il doit arriver à bien comprendre la récréation et la mettre en relation avec ses connaissances, ses habiletés, son expérience en résolution de problème, son profil socio-affectif, son mode d'interaction sociale, son style d'apprentissage. Il doit s'intéresser au problème.

C. Interactions entre l'enseignant et les élèves

À travers ses comportements verbaux ou non verbaux, l'enseignant(e) transmet un ensemble d'attitudes et d'habitudes à propos de la résolution de problème.

D. Interactions entre les élèves

Il s'avère souvent profitable d'amener les élèves à résoudre des récréations en équipe afin de permettre la communication par rapport à la compréhension et à la démarche de résolution et, en plus, de confronter leurs façons de faire ou de penser.

D. Environnement

La présence ou l'absence de matériel, l'atmosphère de discipline ou d'indiscipline, le contexte de résolution ponctué d'enjeux ou de défis adaptés, le mode d'organisation de la classe, etc. sont autant de facteurs qui influencent le rendement de l'élève.

4. Résolution de récréations

La démarche de résolution est constituée par tout ce que l'élève pense (représentations mentales) et fait (manifestations observables) pendant qu'il tente de résoudre un problème. Cette démarche est donc entièrement personnelle. (*)

La démarche de résolution chez un élève est un processus, tandis qu'une solution est un produit de ce processus.

L'élève doit s'habituer à laisser les traces de la démarche de résolution qui sont le résultat d'une analyse et d'une épuration de la démarche globale. Ainsi, il aura l'occasion

 - d'objectiver sa propre démarche et de la confronter avec celles des autres élèves

 - d'identifier progressivement un certain nombre de méthodes et de stratégies de résolution de problèmes

 - de permettre à l'enseignant(e) d'avoir accès à l'essentiel de la démarche à des fins d'évaluation formative ou sommative.

5. Évaluation des récréations

Le concepteur d'une récréation doit évaluer sa qualité après l'avoir produite.  Il doit continuer son évaluation quand il a soumis ce problème à l'élève. Il vérifie alors la forme de communication, le degré de réception et les modes de résolution de la part des élèves.

* * * * * * *

Voici un exemple de fiche d'expérimentation :

Fiche d'expérimentation de récréations mathématiques

Fiche no : ______

1. Titre : ________________________________________________________________

2. Source : ______________________________________________________________

3. Clientèle visée : ________________________________________________________

4. Classe : arithmétique (  )       géométrie (  )       logique (  )

5. Genre d'activités : résolution (  )      production (  )          recherche (  )

6. Moment d'utilisation : avant une notion (   )      pendant une notion (   )      après une notion (   )      sans relation avec une notion (   )

7. Présentation de l'activité : lecture du texte au groupe :  oui (   ) non (   )

8. Explications données : beaucoup (   )     moyennement (  )       peu (   )      aucune (   )              

9. Difficulté :   très difficile (   )       moyennement difficile (   )       peu difficile (   )

10. Taux de réussite : ___________                                    

11. Intérêt des élèves : excellent (  )    très bon (   )     moyen (    )    bon (   )   médiocre (   )

12. Commentaires : _______________________________________________________

______________________________________________________________________

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_______________________________________________________________________

Date : ______________                     Signature : _____________________________

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(*) Certains éléments de ce texte sont inspirés par le guide pédagogique sur la résolution de problème publié par le ministère de l'Éducation en 1988.   

# 6780             27 février 2023

Une erreur de florins

Il est de ces problèmes qui nous insécurisent. Quand on ne trouve pas de poignées pour soulever un objet pesant, on peut se retrouver en panique. Après la lecture de ce problème, on a raison de se demander quelles sont les poignées qui vont nous permettre de le résoudre.

Problème. Albert a 30 florins dans sa bourse. Normalement, successivement il doit recevoir 29 florins et en donner 28, recevoir 27 florins et en donner 26, recevoir 25 florins et en donner 24, etc. Ces deux opérations doivent se succéder jusqu'à ce qu'Albert donne 10 florins. Cependant, à un moment précis, Albert a donné au lieu de recevoir. Toutefois, les opérations ont continué à se succéder dans le nouvel ordre et les montants à décroître de 1. À la dernière opération, Albert a reçu 10 florins. À la fin, il avait 32 florins.

Quel montant Albert a-t-il donné au lieu de recevoir ?

Solution. Ces deux tableaux illustrent la situation comme elle aurait dû se dérouler.

Première démarche. Normalement, après la deuxième opération, Albert doit avoir 31 florins, après la quatrième 32 florins, après la sixième 33 florins. Il y a 10 doubles opérations. On fait 30 + 10 = 40. Normalement, Albert devait avoir 40 florins à la fin comme l'illustre le double tableau. En réalité, il a 32 florins au lieu de 40. La différence est 8. L'erreur a été commise à la huitième opération de la fin. Au moment où il devait recevoir 17 florins, il en a donné 17.

En effet, à la 13^e opération, soit la huitième de la fin, Albert fait successivement -17,  +16, -15, +14, -13, +12, -11 et +10. Cette portion de tableau illustre la situation :

Deuxième démarche. Albert doit recevoir successivement 29, 27, 25, ..., 11 florins. Le nombre de termes est 10. La somme de cette suite est 10(29 + 11)/2 = 200. Albert devait donner successivement 28, 26, 24, ... 10 florins. Le nombre de termes est 10. La somme de cette suite est 10(28 + 10)/2 = 190. On fait : 200 - 190 = 10. Comme il avait 30 florins au début, Albert devait avoir 40 florins à la fin. Il a 32 florins à la fin au lieu de 40. La différence est 8. L'erreur a été commise à la huitième opération de la fin. Au moment où il devait recevoir 17 florins, il en a donné 17.

Conclusion

En effet, ce problème est d'une certaine complexité. Cependant, il mérite qu'on s'y arrête pour voir que finalement il n'est pas aussi rébarbatif qu'on peut se l'imaginer au départ.

# 6765              18 février 2023

Les programmes de mathématiques au Québec

En 1987, dans Pratique de la supervision pédagogique, l'ENAP (École nationale d'administration publique) a publié un texte faisant l'historique des programmes de mathématiques au Québec du milieu du 19^e siècle jusqu'à cette époque. Voici ce texte :

« Autour de 1860, le Journal de l'Instruction publique publie, une fois tous les deux mois environ, à l'intention des maîtres, « des problèmes d'arithmétique très classiques » (Labarrère-Paulé, 1963, p. 26). Étant donné ce fait et alors que l'on enseignait sûrement l'arithmétique dans toutes les écoles à ce moment, on est un peu surpris de ne trouver aucune question dans cette matière dans les programmes d'examen de 1861. Des questions en géométrie et en algèbre sont cependant prévues à l'intention des écoles modèle et académique. Le premier programme où on fasse vraiment mention des nombres et d'opérations est donc celui de 1873 ; la tenue des livres est également présentée à ce moment comme faisant partie de l'enseignement des mathématiques.

Le nouveau programme suivant, celui de 1904, consacre une bonne quinzaine de pages à ce qui doit être enseigné dans les écoles en arithmétique, en comptabilité, en toisé et en algèbre ; toutefois, on prévoit plus l'enseignement de cette dernière qu'au niveau de l'académie.

Selon Ross, qui en est l'un des principaux artisans, le programme de 1923 a vraiment cherché à faire de l'école primaire (qui, rappelons-le, comprenait alors les cours préparatoire, élémentaire et complémentaire) « l'école des éléments » (1931, p. 402), ce dernier terme signifiant les « notions fondamentales des connaissances indispensables à tout homme » (Ibid.).

C'est en s'appuyant sur cette orientation que, dans ce programme, on a réduit encore ce qui restait de l'algèbre et élagué les mathématiques de la plupart des éléments relatifs à la comptabilité et au commerce qui, peu à peu, s'y étaient greffés, tout en conservant une initiation aux opérations commerciales courantes et à la comptabilité personnelle.

Ainsi délimité, le contenu de ce programme peut se résumer en peu de mots : « L'institutrice doit comprendre, écrit F.-X. Ross, qu'elle n'a que deux choses à enseigner aux enfants : les nombres et les quatre opérations fondamentales d'addition, de soustraction, de multiplication et de division. Toute l'arithmétique est là. » (1931, para. 317). À ce moment, se rattachent les décimales, les fractions, le calcul des pourcentages et les poids et mesures.

Tel est en 1923, dans ses lignes essentielles, et tel sera jusqu'à l'avènement des programmes-cadres, en 1969, le programme d'études en mathématiques. Toutefois, au fur et à mesure que la scolarisation s'allonge, on enrichit ces rudiments et, à l'occasion, on ajoute l'une ou l'autre composante nouvelle. Ainsi, en 1929, lors de la naissance officielle du primaire supérieur, l'algèbre ressort de l'ombre et on voit apparaître la géométrie (plane et spatiale).

Lors des révisions de 1938 et de 1939, l'optique est sensiblement la même en mathématiques qu'en français : l'heure est moins à l'interrogation sur ce qu'il faut enseigner (on prétend le savoir assez bien sans de longues recherches, semble-t-il) que sur la façon dont les contenus de cet enseignement doivent être découpés et répartis selon les niveaux et les degrés, de manière à tenir compte de la capacité et de l'intérêt des élèves.  En conséquence, on précise, certes, mais on réaménage surtout et on hiérarchise selon les degrés de difficultés présumés.

Parmi les rares aspects vraiment nouveaux du programme d'études des écoles élémentaires de 1948, on remarque l'initiation aux graphiques. Ce qui, par contre, dans ce programme, comme dans celui des écoles secondaires de 1956, s'affirme, c'est la préoccupation de l'élève. Désormais, non seulement chaque branche des mathématiques, voire chaque difficulté importante, doit être enseignée au bon moment, mais elle doit l'être avec l'intention de développer chez l'élève certaines capacités : d'attention, d'analyse, de raisonnement, de souplesse intellectuelle, d'esprit critique, d'invention de solutions variées, etc.

Pour le célèbre pédagogue de Rimouski, les mathématiques ont, sans aucun doute, un « avantage éducatif » (Ross, 1931, para. 314), car leur étude « force l'attention et exerce à un haut degré de réflexion, le jugement et le raisonnement suivi » (Ibid.). Pour les auteurs du programme des écoles secondaires de 1956, l'enseignement des mathématiques a toujours le même double objectif, de formation et d'utilité, mais c'est l'objectif de formation qui figure maintenant en premier et, de toute évidence, c'est à lui que l'on pense d'abord dans les directives et commentaires.

À divers titres, le programme de 1969, au primaire et au secondaire, constitue un tournant majeur, que les nouveaux programmes des années 1980 ne feront que consacrer et amplifier. En bref, on est entré, plutôt brusquement - tout au moins au niveau des politiques officielles relatives aux programmes -, dans l'ère des mathématiques nouvelles.

Les nouveaux contenus d'enseignement proposés se caractérisent d'abord par la terminologie et la symbolique auxquelles ils font appel. Ainsi, l'élève doit maintenant se familiariser très tôt avec plusieurs signes utilisés dans les mathématiques avancées seulement, ainsi qu'avec des classes de nombres (naturels, relatifs, rationnels, à virgules, etc.) et des notions telles que: ensemble, relation, fonction, proposition, etc.

Plus radicalement, ce sont, en fait, des concepts neufs qui s'infiltrent un peu partout dans le paysage mathématique et qui, au bout du compte, le modifient entièrement. Les anciennes branches ou parties changent de dimension, s'ordonnent autrement les unes par rapport aux autres, s'unifient même à l'intérieur d'un vaste ensemble qui est bien autre chose qu'une synthèse des programmes du passé (sans pour autant, loin de là, éliminer les éléments essentiels du contenu de ces programmes).

Plus profondément encore, ce qui caractérise les programmes d'études en mathématiques depuis 1969, ce sont les objectifs de formation qu'on leur assigne. En effet, considérés dans une perspective historique, les objectifs de formation des programmes des années 1970 et 1980 tranchent fortement sur ceux du passé ; ils frappent, entre autres, par leur diversité, par leur ampleur et par la tranquille assurance avec laquelle ils s'aventurent sur les terrains les plus inattendus et les plus litigieux de la formation de la personne. S'il en est ainsi, c'est que la nouvelle mathématique se présente comme étant elle-même non seulement un langage propre en mesure d'appréhender de multiples dimensions du monde, mais encore comme un mode original et très riche de pensée et d'expression.

Ce que l'on affirmait de l'enseignement du français dans les années 1920, on l'avance maintenant en parlant de la mathématique: apprendre celle-ci, c'est d'abord apprendre à penser. Pour s'en convaincre, il n'y a qu'à se reporter aux premières pages des documents qui présentent les nouveaux programmes du primaire et du secondaire. Ainsi, par exemple, au primaire, l'un des objectifs pédagogiques du programme de mathématique consiste à "stimuler le développement de la pensée chez l'enfant : pensée convergente, pensée divergente, jugement, etc." (Ministère de l'Éducation, 1976, p. 7).

Le programme de 1980 va plus loin encore: l'enseignement des mathématiques, affirme-t-on, « devrait aboutir aux trois éléments majeurs de formation suivants : une façon de penser qui fournit un instrument extrêmement puissant pour analyser ses expériences, un complément de culture qui peut améliorer l'intérêt et le plaisir de vivre, et enfin un langage important, essentiel à la communication des idées et à l'expression des buts de la société » (Ministère de l'Éducation, 1980, p. 6).

Dans les paragraphes qui suivent, ces éléments sont repris et explicités de diverses manières : il en ressort, entre autres, que l'enseignement de la mathématique poursuit « bien sûr une fin en soi » et que l'une des grandes orientations visées est « le développement d'habiletés intellectuelles et psychomotrices » (Idem, p. 7). De même au second cycle du secondaire, l'enseignement de la mathématique permet « de structurer l'esprit logique de l'élève » et, dans l'avenir, « il lui garantira une meilleure préhension du monde qui l'entoure » (Ministère de l'Éducation, 1982, p. 5-6).

Si, poussant plus loin l'investigation, on consulte les objectifs intermédiaires que l'on poursuit, on se rend également compte qu'il est beaucoup plus souvent question d'identifier, de décrire, de dégager, d'exprimer, de traduire ou d'énoncer que d'énumérer, de calculer ou d'effectuer l'une ou l'autre opération.

Alors que les nouveaux programmes de français mettent de moins en moins l'accent sur la formation comme telle de la pensée et de plus en plus sur l'habileté à communiquer, ceux de mathématique, au contraire, se préoccupent donc, de plus en plus, dans la définition de leurs objectifs, du développement d'habiletés fondamentales jugés nécessaires aujourd'hui pour permettre à la personne de penser de manière autonome, de comprendre son environnement et de faire face aux grands défis de la vie humaine. » (Fin du texte cité)

# 6755              12 février 2023

Jeux et solitaires

Le présent article vise à préciser le vocabulaire relatif aux jeux et aux solitaires.

1. Notion de jeu

Le jeu est une activité fictive, amusante ou divertissante, librement choisie et fondée sur différentes combinaisons de calcul, de hasard ou d'adresse. Il implique une compétition contre un ou plusieurs adversaires ou encore contre les lois de la probabilité. Le déroulement se fait pendant un temps limité et selon des règles déterminées. Le but est d'atteindre une position définie.

2. Éléments descriptifs d'un jeu

A. Nombre de joueurs : 2 et plus.

B. Espace ludique : terrain dans lequel un joueur déplace des objets de jeu. La place occupée par les objets de jeu détermine la position du jeu.

Le terrain peut être de type continu (à l'intérieur d'un espace fermé) ou de type discret (limité à des positions précises). Il peut être le même pour les deux joueurs ou différent.

Les objets peuvent être en nombres variés tous identiques dans la forme, mais de couleur différente pour chaque joueur, tous différents dans la forme et de couleur différente pour chaque joueur.

C. Période ludique : temps pendant lequel se déroulent les actions du jeu.

Le temps est de nature continue ou encore est composé de coups successifs alternativement ou simultanément. Le nombre de coups (ou la durée du jeu) est fixé a priori ou encore la partie se termine quand l'objectif (positions précises ou situations précises) est atteint.

D. Trajectoires ludiques : déplacements permis dans l'espace ludique des objets d'après les règles du jeu et en tenant compte de la période.

Les règles définissent la position initiale ou indiquent une technique d'obtention d'une position qui est fixe ou variable. Elles indiquent l'ensemble des choix possibles pour un joueur qui doit opérer à partir de la position résultant des actions précédentes.

E. Critère ludique : le résultat obtenu par un joueur est mesuré par un critère indiquant son gain.

Ce critère peut être :

- gradué : il prend des valeurs numériques diverses (pointage, temps, nombre d'objets).

- binaire : il prend deux valeurs : gain ou perte.

Si le critère est gradué, il peut être :

- final : il prend une valeur uniquement à la position finale du jeu.

- trajectoriel : il prend une valeur à chaque position et la valeur finale est fonction de l'ensemble des valeurs partielles.

F. Information : connaissance de chacun des joueurs en rapport avec les objets de jeu et leur position.

L'information peut être :

- parfaite : le joueur connaît les objets de l'autre ou encore leur position. Aux échecs, l'information est parfaite.

- partielle : le joueur ne connaît pas les objets de l'autre ou encore leur position. Aux cartes, un joueur ne connaît que ses cartes. À la bataille navale, un joueur ne connaît pas la position des objets de l'autre.

G. Hasard : il intervient dans certains jeux principalement au plan de la trajectoire. Il peut déterminer le nom du joueur qui commence, fixer la position initiale ou une nouvelle position à chaque coup. Il peut également modifier le nombre de joueurs, le terrain, les objets, la période et le critère.

3. Classification des jeux selon la nature des mouvements

A. Jeux de hasard : ils sont entièrement constitués de mouvements aléatoires. Aucun joueur ne peut intervenir pour modifier le cheminement d'une partie si bien qu'il est impossible d'établir une stratégie gagnante. On retrouve dans cette catégorie le pile ou face, les jeux de loterie, les jeux de dés, certains jeux de cartes, l'oie, etc.

B. Jeux de combinaisons : ils sont entièrement constitués de mouvements personnels posés en réponse à des mouvements de l'adversaire. La combinaison des positions constitue la charnière de ces jeux. On retrouve dans cette catégorie les jeux de marelle, les échecs, les dames, le tic-tac-toe, le hex, le nim, etc.

C. Jeux mixtes : ils sont constitués de mouvements aléatoires et de mouvements personnels. On retrouve dans cette catégorie la plupart des jeux de cartes, des jeux de dominos, etc.

On peut classifier les jeux selon d'autres paramètres comme le terrain, les objets, la trajectoire ou l'aspect éducatif.

4. Solitaires

Le solitaire tient de la récréation et du jeu. Comme pour la récréation, il y a un seul joueur. Ce dernier entre en compétition avec le hasard ou avec lui-même. Les données sont connues avec le déroulement de la partie et, comme pour le jeu, des règles précises guident l'action. Le but consiste à atteindre une situation prédéterminée.

Le solitaire exige habituellement un matériel spécifique. Les trajectoires pour arriver à l'objectif sont variées. Les jeux de patience avec les cartes constituent des solitaires.

Le solitaire se distingue de la récréation notamment quant au mode d'information. Si l'information est totale dès le départ, il s'agit d'une récréation ; si l'information est connue par bribes, c'est un solitaire.

Certains auteurs considèrent comme un solitaire une activité exigeant de la manipulation comme, par exemple, former un carré magique d'ordre 3 avec des jetons numérotés de 1 à 9.

# 6745              6 février 2023

La résolution de problème

En 1988, le ministère de l'Éducation publiait un document sur la résolution de problème. Voici une synthèse de ce document :

1. Notion de problème en mathématiques

Pour un élève, un problème en mathématique est une situation où

· il tente de répondre à une question posée ou d'accomplir une tâche déterminée, à la lumière de son expérience, ainsi que des informations qui sont fournies explicitement ou non.

·  il lui faut réellement chercher pour trouver un moyen de répondre à cette question ou d'accomplir cette tâche.

·  il doit faire appel à des notions mathématiques ou à des habiletés intellectuelles fréquemment utilisées en mathématique pour y arriver.

Résoudre ou solutionner un problème ou encore trouver une solution à un problème

· c'est cheminer jusqu'à ce qu'on ait trouvé une réponse correcte (non nécessairement exacte) à la question posée ou accompli la tâche demandée.

·  c'est s'engager dans un processus de recherche qui permet de transformer une situation donnée et d'aboutir à un résultat jugé satisfaisant.

· c'est intégrer des objets considérés comme extérieurs et de les mettre en relation avec ses connaissances et ses habiletés.

· c'est rétablir l'équilibre entre une situation extérieure et sa structure intérieure.

Par solution, on entend une réponse à la question posée ou un accomplissement de la tâche demandée et non pas le cheminement pour y arriver. Dans ce dernier cas, il s'agit de démarche.

2. Caractéristiques d'un problème

Un problème suppose une référence à une certaine situation c'est-à-dire un contexte où il est question de certains objets ainsi que de certaines relations et opérations faisant intervenir ces objets.

Il faut que l'élève tente de répondre à une question posée ou d'accomplir une tâche (souvent multiple) déterminée dans la situation donnée.

 Le problème exige une réelle recherche de la part d'un élève. Un problème cause un déséquilibre du point de vue cognitif. Pour résoudre le problème, l'élève doit réfléchir et faire appel à divers processus mentaux plus complexes que la simple mémorisation. En particulier, il doit faire appel à l'imagination et à la créativité et non se limiter à l'application mécanique de principes et de règles déjà connus.      

Les problèmes peuvent être :

courts : la résolution exige un peu de recherche et un temps limité. Elle nécessite le choix d'une combinaison adéquate de connaissances déjà étudiées ou d'habiletés déjà développées, parmi plusieurs combinaisons que l'élève a déjà rencontrées auparavant.

longs ou de recherche : la résolution exige la création d'une combinaison originale de connaissances et d'habiletés, beaucoup d'indépendance d'esprit ainsi que l'utilisation de raisonnements plausibles.

Il faut que l'élève fasse appel à des savoirs (concepts, propriétés, méthodes, algorithmes, etc.) ou à des savoir-faire (habiletés techniques ou intellectuelles) mathématiques, ou encore à des habiletés de raisonnement logique.

Le problème doit conduire à la découverte de connaissances nouvelles et de techniques particulières.

3. Distinction entre problème et exercice

La différence majeure entre un problème et un exercice apparaît dans la démarche de l'élève.

 Si l'élève voit spontanément comment s'y prendre, c'est un exercice.

 Si l'élève doit réellement chercher et souvent être ingénieux ou créatif, c'est un problème.

Par rapport aux problèmes, les exercices jouent des rôles différents et complémentaires. Ils ont principalement pour but de faire fixer par les élèves des habiletés ou des automatismes auxquels ils ont déjà été initiés, ou encore de faire pratiquer l'application de certaines définitions ou propriétés précédemment apprises en classe.

La notion de problème est relative. Elle doit être considérée du point de vue de l'élève.

4. L'affectivité dans la résolution d'un problème

L'affectivité joue un rôle considérable et déterminant dans la résolution d'un problème. Tout au long du processus de résolution, l'élève est influencé par des sensations, des émotions, des attitudes affectives qui peuvent stimuler ou bloquer sa démarche.

Par ailleurs, tout problème constitue un blocage du point de vue cognitif. L'élève peut se sentir impuissant, désintéressé, confiant, stimulé, frustré, découragé, satisfait, déçu, désarmé, improductif, inefficace, rassuré, heureux, etc.

5. Classification des problèmes en mathématique

5.1 Selon le contexte

A. Problème à contexte réel : s'il se produit effectivement dans la réalité.

B. Problème à contexte réaliste : s'il est susceptible de se produire.

C. Problème à contexte fantaisiste ou imaginaire : s'il est le fruit de l'imagination.

D. Problème à contexte purement mathématique : s'il fait référence à des objets mathématiques.

5.2 Selon le nombre de solutions

A. Problème à une seule solution.

 B. Problème ayant un nombre fini de solutions.

 C. Problème ayant une infinité de solutions.

 D. Problème qui n'a pas de solution.

5.3 Selon l'adéquation des données

A. Problème à données complètes : l'élève repère les informations et les utilise.

B. Problème à données superflues : l'élève sélectionne les informations pertinentes et les utilise.

C. Problème à données implicites : l'élève peut trouver les informations qui manquent.

D. Problème à données insuffisantes : l'élève ne peut pas trouver les informations qui manquent.

6. Présentation d'un problème

Un problème peut être présenté par écrit ou oralement. L'énoncé peut comprendre :

· un texte.

· un support visuel : dessins, tableaux, figures, graphiques, schémas, etc.

· des formules, des symboles, des propositions mathématiques, etc.

· du matériel de manipulation : blocs logiques, calculatrice, jetons, miroir, etc.

7. Démarche de résolution d'un problème chez un élève

La démarche de résolution est constituée par tout ce que l'élève pense (représentations mentales) et fait (manifestations observables) pendant qu'il tente de résoudre un problème. Cette démarche est donc entièrement personnelle.

La démarche de résolution chez un élève est un processus, tandis qu'une solution est un produit de ce processus. L'élève doit s'habituer à laisser les traces de la démarche de résolution qui sont le résultat d'une analyse et d'une épuration de la démarche globale. Ainsi, il aura l'occasion

·  d'objectiver sa propre démarche et de la confronter avec celles des autres élèves

·  d'identifier progressivement un certain nombre de méthodes et de stratégies de résolution de problèmes

·  de permettre à l'enseignant d'avoir accès à l'essentiel de la démarche à des fins d'évaluation formative ou sommative.

Conclusion

Ce texte nous permet de mieux comprendre ce qu'est la résolution de problème et de mesurer l'importance de ce sujet.

# 6735              30 janvier 2023

Jeux et récréations mathématiques à l’école

L'introduction de jeux et de récréations mathématiques en classe n'est pas chose aisée. Je ne vous promets pas de vous rendre la vie facile si vous allez dans ce sens, mais je veux simplement vous donner des pistes de réflexion pour asseoir votre démarche.

1. Objectifs généraux

Avant d'entreprendre une démarche d'introduction d'activités récréatives en classe, il s'avère important que l'enseignant se fixe au moins un objectif général. En voici quatre :

· Donner le goût de la pensée indépendante.

Il y a dans la solution de tout problème une part de découverte. Les exercices routiniers vont permettre l'acquisition de connaissances mais peuvent devenir asséchants pour l'esprit. Les activités récréatives vont piquer la curiosité, stimuler le sens de la recherche et donner des moyens de parvenir à une pensée de plus en plus libre face aux contraintes extérieures.

· Projeter une conception dynamique des mathématiques

Certains élèves croient que les mathématiques sont une science fermée et que tout y a été découvert. Les activités récréatives sont d'excellentes pistes qui pourront amener des surprises agréables et faire ressortir l'aspect vivant des mathématiques. Le seul fait de sortir de la routine journalière est déjà un élément positif. L'élève pourra acquérir un préjugé favorable et un plus grand intérêt envers les mathématiques.

· Développer des concepts et des habiletés spécifiques

Les mathématiques récréatives existent dans tous les domaines mathématiques. L'élève sera amené à résoudre des problèmes ou à analyser des jeux qui peuvent lui permettre de renforcer ses mécanismes de calcul et d'augmenter sa compétence en résolution de problèmes.

· Donner le goût de résoudre des problèmes

Chaque jour de la vie, des problèmes se présentent et leur solution est souvent variable. Ce qui est important, c'est de développer des réflexes de solutions originales, nuancées et efficaces. Il faut être capable de faire éclater sainement le problème et de replacer les éléments en un nouvel équilibre.

Bref, le mode d'apprentissage ne doit pas être à la remorque des connaissances. Il doit se projeter naturellement à travers les différentes activités. Les nombres, les figures géométriques, les déplacements de pièces sont des intrants qui doivent s'harmoniser dans le cadre d'acquisition de connaissances et de développement d'habiletés qui vont permettre de comprendre, de communiquer et de résoudre des problèmes.

2. Introduction d’activités récréatives

Il n'est pas dit que le premier jeu ou problème récréatif aura un succès immédiat. Bien des élèves pourront saisir l'aspect nouveau de la situation, avoir l'intuition qu'un divertissement s'y cache, ils n'en auront pas pour autant mesuré les divers impacts.

Il est important que l'introduction d'activités récréatives soit une opération soigneusement planifiée et qu'elle soit située dans un contexte organique où cohabitent les cours, le programme d'études, les contrôles et les examens. En faire uniquement des activités de dépannage risque d'en appauvrir leur portée.

Les jeux et récréations mathématiques récréatives doivent donc devenir des outils pédagogiques et être reçus par l'élève comme un complément aux autres activités scolaires. Des conditions précises vont déterminer la réussite de l'intégration d'activités récréatives. Nous en explicitons quelques-unes. Chaque enseignant pourra y puiser les éléments les plus adaptés en regard de son approche pédagogique.

·  Il faut choisir une récréation en accord avec les capacités et les besoins des élèves.

De façon générale, les activités récréatives sont de difficultés variées. Les unes sont purement mathématiques ; d'autres font appel à la manipulation ; d'autres sont présentées dans un contexte réaliste ou imaginaire. Par ailleurs, les besoins des élèves peuvent être de différents ordres. Ce peuvent être des besoins d'ordre intellectuel ou affectif, des besoins d'acquisition de connaissances mathématiques.

Le rythme d'apprentissage est également une condition de réussite. L'ensemble de ces données va amener l'enseignant à faire des choix. Par la suite, la réaction et l'attitude des élèves vont tranquillement permettre d'identifier les formes d'activités récréatives qui vont le mieux satisfaire les besoins d'imaginaire, de réel et de rationnel.

·  Il faut employer la récréation au temps le plus opportun.

On peut faire appel à des jeux ou problèmes récréatifs dans des moments divers :

- avant, pendant ou après une notion.

- à titre de révision.

- à des moments libres.

- à des périodes fixes.

Il est important que l'élève réalise qu'il ne s'agit pas seulement d'un passe-temps. Il faut le plus possible utiliser des temps relativement courts de façon à ce que l'activité soit toujours désirée et perçue comme un apprentissage agréable malgré des difficultés raisonnables.

· Il faut offrir un soutien constant.

Certains jeux ou récréations ne sont pas tellement accueillants au départ ; d'autres contiennent des écueils cachés ; d'autres sont carrément intraitables. L'enseignant aura à prévoir les réactions, à guider d'une façon veloutée, à remettre sur la bonne voie, à créer une atmosphère de motivation et de détente. Ce travail de soutien peut être fait en donnant des explications supplémentaires, en posant des questions, en modifiant les conditions, en suggérant des pistes de réussite. Par le travail en équipes et par la mise en commun de découvertes, les élèves peuvent également se stimuler.

À la suite d'une lecture de l'énoncé du problème ou des règles du jeu, il est bon de comparer la compréhension par une narration, une discussion ou des mises en situation. Par la suite, il peut s'avérer nécessaire de proposer des pistes de solution ou des stratégies.

· Il faut diversifier la présentation.

Il est essentiel que l'élève sache lire et comprendre les problèmes présentés sous forme écrite. De même, il doit savoir écouter ce qu'il reçoit de façon orale. En tout temps, il doit être en mesure de communiquer les informations sur le problème.

L'élève trouvera les jeux ou récréations dans des livres mis à sa disposition, dans des recueils préparés par l'enseignant, sur des cartes qui pourront être classées selon le degré de difficulté, sur les murs de la classe, sur un tableau ou sur internet.

· Il faut susciter la participation.

Afin de stimuler les élèves, l'enseignant pourra se servir d'un tableau où il indique, pour chaque élève, les résultats pour chaque activité. En plaçant, par exemple, le nom des élèves en ordonnée et le titre de l'activité en abscisse, il pourra colorer une case à mesure que l'élève a réussi, a fait des progrès ou a consenti des efforts jugés satisfaisants.

La participation à des concours locaux, régionaux ou nationaux, la production de jeux ou de récréations, la résolution du problème du jour ou de la semaine sont autant de moyens qui peuvent favoriser la motivation et l'intérêt.

Pendant le déroulement d'un jeu, l'enseignant peut agir à titre de meneur ou d'animateur. Toutefois, il est recommandé de distribuer les rôles parmi les élèves en tenant compte des capacités de chacun.

3. Suggestions d’activités récréatives

Il est important de monter une banque de matériel qui pourrait comprendre livres, revues, posters, jouets, cartes de problèmes. De même, on peut se procurer du matériel d'utilisation courante : dés, jetons, cubes, cure-dents, blocs, réglettes, formes géométriques, carton mince ou résistant, ficelle, etc. Les élèves pourront participer à la production de différents objets ludiques.

Également, les pièces de tangram peuvent générer un grand nombre de dessins. On peut alors les classer en différentes catégories : figures géométriques, lettres, chiffres, animaux, silhouettes, bateaux et formes architecturales. En somme, il existe une variété de récréations dont l'ensemble des solutions peut faire l'objet d'une attention particulière.

On peut traduire des récréations connues sous forme de bandes dessinées ou de posters, rassembler certaines données éparses et les classer ou encore modifier les données de récréations existantes.

Conclusion

Autant il peut y avoir des démarches différentes à une récréation, autant il y a de façons de présenter aux élèves ces activités mathématiques. Les résultats obtenus à la suite de l'expérimentation des récréations vont guider l'enseignant et améliorer son style d'échanges. Les premiers pas, dans ce domaine comme ailleurs, ne sont pas toujours sous contrôle et ne produisent pas nécessairement les effets escomptés. Aussi, il est bon de se donner des outils pour vérifier la valeur de l'activité, sa pertinence et son accueil.

# 6725              24 janvier 2023

Classification des récréations mathématiques

Une récréation mathématique est un problème mathématique divertissant pour lequel le processus de résolution est le plus raffiné et élégant possible.

Une récréation se présente généralement sous forme d'un texte qui décrit une situation et qui pose une interrogation en regard de données traitées à la lumière des conditions. Parfois, du matériel servant à la manipulation accompagne le texte et peut être fabriqué en relation avec lui.

Le temps pour arriver à la solution n'est pas déterminé et il n'y a pas de compétition. Les exigences mathématiques sont très variables et semblent parfois inexistantes. En tout temps, la réflexion, la perspicacité, la créativité et la logique doivent intervenir.

D'autres termes sont utilisés pour désigner une récréation mathématique. Mentionnons : problème récréatif, jeu, amusette, amusement, devinette, énigme, puzzle, casse-tête, distraction, divertissement.

A1. Classification selon le scénario

On peut considérer deux volets.

· Récréations pures

Elles font appel, dans un contexte artificiel, à des êtres abstraits comme les nombres et les figures géométriques. Elles sont le plus souvent exprimées de façon concise et ne présentent que des objets mathématiques.

· Récréations appliquées

Elles s'insèrent dans un contexte réel, réaliste ou fantaisiste et s'appuient sur des connaissances mathématiques.

A2. Classification selon l’approche

On peut considérer quatre volets.

· Récréations orales

La résolution se fait sans aucun outil et sans aucune trace écrite.

· Récréations scripturales

La résolution se fait au moyen des instruments conventionnels d'écriture et laisse une trace écrite.

· Récréations manuelles

La résolution se fait au moyen d'objets de manipulation et ne laisse pas de trace écrite.

· Récréations électroniques

La résolution se fait au moyen d'outils comme la calculatrice et l'ordinateur et laisse une trace écrite.

A3. Classification selon les objets

On peut considérer trois volets.

1. Récréations arithmétiques

Elles comportent principalement des nombres et mettent en évidence les relations entre eux. On peut les subdiviser ainsi.

Récréations numériques

Elles sont reliées principalement à la théorie des nombres. On y manipule les nombres en utilisant leurs propriétés élémentaires de même que les opérations de base.

Centres d'intérêt : calendrier, nombres premiers, divisibilité, partition de nombres, suites, calcul rapide, devinettes, nombres pensés, tours de cartes, curiosités, nombres croisés, nombres figurés, nombres amiables, nombres palindromes, nombres polygonaux, millésime, etc.

Récréations cryptarithmiques

Les lettres ou symboles organisés en une ou plusieurs opérations arithmétiques remplacent des chiffres.

Centres d'intérêt : alphamétiques, cryptarithmes, astérithmes, etc.

Récréations combinatoires

Elles touchent à toutes les situations qui visent à disposer des chiffres ou des objets d'une façon définie en se basant sur des procédés de dénombrement. Les permutations et les combinaisons forment l'ossature mathématique.

Centres d'intérêt : carrés magiques, autres treillis magiques, carrés latins, carrés gréco-latins, dominos, mains de cartes, tournois, disposition d'objets, etc.

2. Récréations géométriques

Elles touchent principalement aux figures géométriques et à leurs propriétés. On peut les subdiviser ainsi.

Récréations métrologiques

Elles considèrent l'étendue sous ses aspects de ligne, de surface et de volume. Elles touchent principalement aux propriétés et aux mesures de cette étendue.

Centres d'intérêt : comptage des figures, partage, illusions d'optique, triangle de Pythagore, figures ambiguës, constructions, découpage, polyèdres, flexagones, etc.

Récréations d'assemblage

Elles consistent à assembler des pièces pour former des représentations de personnes ou d'objets ou encore des figures géométriques variées.

Centres d'intérêt : tangram, polyominos, cube soma, carrelage, allumettes, pièces de monnaie, polyamants, etc.

Récréations de déplacement

Des pièces sont déplacées selon des règles précises en vue d'obtenir un résultat prévu.

Centres d'intérêt : solitaire, tour de Hanoï, baguenaudier, taquin, cube de Rubik, trains, alignement, etc.

Récréations topologiques

Elles sont basées sur les déformations de figures et sur les rapports entre les surfaces.

Centres d'intérêt : pliage de papier, nœuds, labyrinthes, parcours d'un réseau, cubes coloriés, coloriage d'une carte, anneaux, chemins, tresses, sauts, pelage d'un polyèdre, etc.

3. Récréations logiques

Elles exigent plutôt un raisonnement déductif et très peu de calcul. On peut les subdiviser ainsi.

Récréations énigmatiques

Elles sont basées sur des raisonnements trompeurs ou piégés.

Centres d'intérêt : paradoxes, faux raisonnements, opérations illégales, sophismes, etc.

Récréations cryptographiques

Elles consistent dans le chiffrement et le déchiffrement de messages codés.

Centres d'intérêt : codes, clés, grilles, transposition, substitution, etc.

Récréations d'affectation

Elles contiennent de nombreuses informations qui doivent être mises en relation de façon à reconstituer un tableau dans un contexte cohérent et vérifiable.

Centres d'intérêt : personnages, âges, animaux, métiers, lieux, noms, prénoms, etc.

Récréations de vérité

Elles sont basées sur l'état de vérité du discours de personnes, lequel est parfois inconnu.

Centres d'intérêt : vérités permanentes, mensonges permanents, vérités partielles ou mensonges occasionnels.

Récréations sérielles

Elles comprennent des suites de nombres, de symboles ou de lettres qui se succèdent d'après une loi de formation inconnue mais identifiable.

Centres d'intérêt : nombres manquants, intrus, sixième dessin, tableaux, etc.

# 6700              9 janvier 2023

Vers des égalités de cubes

Nous vous présentons d'abord un modèle qui permet de trouver des égalités de cubes. Puis, nous donnons des exemples de combinaisons à partir de différentes égalités.

Un modèle

On part de deux n-uplets dont on est certain qu'ils vont former des égalités. On choisit un nombre. On écrit le nombre choisi. On additionne successivement chaque élément du premier n-uplet au dernier résultat. Ce sont les bases du premier membre de l'égalité. On additionne 1 au nombre choisi. On écrit ce nombre. On additionne successivement chaque élément du deuxième n-uplet au dernier résultat. Ce sont les bases du deuxième membre de l'égalité. Voici des exemples :

Huit cubes

Les triplets de départ sont (6, 1, 6) et (2, 7, 2). On choisit 4. Cela donne : 4, 10, 11, 17 et 5, 7, 14, 16. Après avoir ajouté l'exposant 3, on peut écrire :

4³ + 10³ + 11³ + 17³ = 5³ + 7³ + 14³ + 16³ = 7308

On peut additionner n'importe lequel nombre pour trouver d'autres égalités. Par exemple, si on additionne 1 à chaque base, on obtient :

5³ + 11³ + 12³ + 18³ = 6³ + 8³ + 15³ + 17³ = 9016

Dix cubes

Les quadruplets de départ sont (4, 4, 8, 1) et (1, 8, 4, 4). On choisit 3. Cela donne : 3, 7, 11, 19, 20 et 4, 5, 13, 17, 21. Après avoir ajouté l'exposant 3, on peut écrire :

3³ + 7³ + 11³ + 19³ + 20³ = 4³ + 5³ + 13³ + 17³ + 21³ = 16 560

Par exemple, si  on additionne 2 à chaque base, on obtient :

5³ + 9³ + 13³ + 21³ + 22³ = 6³ + 7³ + 15³ + 19³ + 23³ = 22 960

Douze cubes

Les quintuplets de départ sont (5, 2, 3, 2, 5) et (2, 5, 1, 5, 2). On choisit 1. On obtient :

1³ + 6³ + 8³ + 11³ + 13³ + 18³ = 2³ + 4³ + 9³ + 10³ + 15³ + 17³ = 10 089

Par exemple, si  on additionne 3 à chaque base, on obtient :

4³ + 9³ + 11³ + 14³ + 16³ + 21³ = 5³ + 7³ + 12³ + 13³ + 18³ + 20³ = 18 225

Seize cubes

Les septuplets de départ sont (3, 3, 1, 3, 1, 3, 3 ) et (1, 3, 3, 1, 3, 3, 1). On choisit 2. On obtient :

2³ + 5³ + 8³ + 9³ + 12³ + 13³ + 16³ + 19³ = 3³ + 4³ + 7³ + 10³ + 11³ + 14³ + 17³ + 18³ = 16 254

Par exemple, si  on additionne 2 à chaque base, on obtient :

4³ + 7³ + 10³ + 11³ + 14³ + 15³ + 18³ + 21³ = 5³ + 6³ + 9³ + 12³ + 13³ + 16³ + 19³ + 20³ = 23 950

Combinaisons de différentes égalités

Après avoir trouvé des égalités de cubes, on peut additionner membre à membre deux égalités et, au besoin, biffer les termes qui apparaissent de part et d'autre.

Huit cubes

· Prenons les deux égalités précédentes et additionnons. On obtient :

2³ + 8³ + 15³ + 21³ = 3³ + 6³ + 17³ + 20³ = 13 156

· On peut prendre ces deux égalités et on additionne.

13³ + 35³ = 19³ + 24³ + 29³ = 45 072

1³ + 5³ + 7³ + 12³ = 13³ = 2197                                                                                                               

On obtient une égalité de huit cubes (cinq d'un côté et trois de l'autre).

1³ + 5³ + 7³ + 12³ + 35³ = 19³ + 24³ + 29³ = 45 072

Onze cubes

Égalités de départ :

7³ + 17³ = 11³ + 12³ + 13³ = 5256

13³ + 22³ + 23³ + 26³ = 15³ + 20³ + 21³ + 28³ = 42 588

On obtient une égalité de 11 cubes après avoir biffé 13³ de part et d'autre :

7³ + 17³ + 22³ + 23³ + 26³ = 11³ + 12³ + 15³ + 20³ + 21³ + 28³ = 45 647

Treize cubes

Dans la dernière égalité, on remplace 12³ par 6³ + 8³ + 10³. On obtient :

7³ + 17³ + 22³ + 23³ + 26³ = 6³ + 8³ + 10³ + 11³ + 15³ + 20³ + 21³ + 28³ = 45 647

En guise de conclusion

Dans la première partie, le nombre de cubes est identique d'un membre de l'égalité à l'autre. Dans la dernière partie, ce nombre est différent.

# 6675              24 décembre 2022

Polygonaux et variables

Un nombre polygonal est un nombre qui peut être représenté par un polygone régulier constitué de points disposés de façon symétrique. Voici quatre ordres de polygonaux :

Nous allons tenter de trouver des égalités de polygonaux en utilisant des variables.

Égalité de huit polygonaux du même ordre

Cas 1. On peut former des égalités de huit carrés à partir de variables. Pour chaque membre de l'égalité, on prend un groupe de quatre expressions :

(1) a + 2b, 2a + 2b, 3a + b, b

(2) a + b, 2a + b, 3a + 2b, 2b

On attribue une valeur arbitraire à chacune des lettres. Par exemple, a = 5 et b = 8. En considérant les triangulaires, on peut écrire :

21^Δ + 26^Δ + 23^Δ + 8^Δ = 13^Δ + 18^Δ + 31^Δ + 16^Δ = 894

Cette égalité vaut pour les polygonaux de tout ordre y compris les carrés.

Cas 2. On peut proposer d'autres variables :

(1) a, a + 3b, 2a + b, 2a + 2b

(2) a + b, a + 2b, 2a, 2a + 3b

Par exemple, si a = 3 et b = 7, en considérant les pentagonaux où p est l'exposant, on a :

3^p + 24^p + 13^p + 20^p = 10^p + 17^p + 6^p + 27^p = 1701

Cette égalité vaut pour les polygonaux de tout ordre y compris les carrés.

Cas 3. On compose un premier membre avec les valeurs (ad - bc) et (bd + ac). Le second membre est formé des valeurs (ad + bc) et (bd - ac). Par exemple, si a = 1, b = 3, c = 1 et d = 4, on a 1 et 13 dans le premier membre, puis 7 et 11 dans l'autre.

On choisit un nombre supérieur au plus grand qu'on appelle opérateur. Allons-y pour 14. Pour chaque nombre précédent, on soustrait de 14 et on additionne 14. On obtient :

13 + 15 + 1 + 27 = 7 + 21 + 3 + 25 = 56

Pour les octogonaux dont l'exposant est o, on peut écrire :

1^o + 13^o + 15^o + 27^o = 3^o + 7^o + 21^o + 25^o = 3260

Cette égalité vaut pour les polygonaux de tout ordre y compris les carrés. Cela est aussi vrai pour les cubes.

1³ + 13³ + 15³ + 27³ = 3³ + 7³ + 21³ + 25³ = 25 256

Égalité de 16 polygonaux du même ordre

On compose un premier membre avec les valeurs (ad - bc) et (bd + ac). Le second membre est formé des valeurs (ad + bc) et (bd - ac). On choisit deux quadruplets de nombres.

Pour le premier quadruplet, on prend, par exemple, a = 1, b = 2, c = 3 et d = 4. On remplace chaque expression du cas précédent par sa valeur numérique. Le premier membre est formé de -2 et 11, le second membre par 10 et 5. On choisit 12 comme opérateur. On peut écrire :

14 + 10 + 1 + 23 = 2 + 22 + 7 + 17 = 96

Pour le second quadruplet, on prend, par exemple, a = 1, b = 2, c = 5 et d = 6. Le premier membre est formé par -4 et 17, le second membre par 16 et 7. On choisit 20 comme opérateur. On peut écrire :

24 + 16 + 3 + 37 = 4 + 36 + 13 + 27 = 80

On peut produire une égalité en additionnant les termes membre par membre. En voici une avec les nombres triangulaires :

1^Δ + 3^Δ + 10^Δ + 14^Δ + 16^Δ + 23^Δ + 24^Δ + 37^Δ = 2^Δ + 4^Δ + 7^Δ + 13^Δ + 17^Δ + 22^Δ + 27^Δ + 36^Δ = 1582

Cette égalité vaut pour les polygonaux de tout ordre. Cela est aussi vrai pour les cubes.

1³ + 3³ + 10³ + 14³ + 16³ + 23³ + 24³ + 37³ = 2³ + 4³ + 7³ + 13³ + 17³ + 22³ + 27³ + 36³ = 84 512

En guise de conclusion

Étant donné que les égalités proviennent de variables algébriques choisies au hasard, on peut former autant d'égalités que l'on veut.

# 6645                6 décembre 2022

Rectangles magiques

Un rectangle magique est une grille rectangulaire composée de m lignes et de n colonnes dans laquelle on peut écrire des nombres, ordinairement des entiers. La somme de chaque ligne doit être unique et celle de chaque colonne doit aussi être unique, mais différente de celle des lignes.

Pour trouver la somme de chaque ligne et celle de chaque colonne, on procède ainsi :

• On additionne les nombres qu’on veut inclure dans la grille.

• On divise la somme par le nombre de lignes, soit m : c’est la somme de chaque ligne.

• On divise la somme par le nombre de colonnes, soit n : c’est la somme de chaque colonne.

Problème 1

Comment composer des rectangles magiques d’ordre 2 × 3 ?

Démarche

On choisit une suite de sept termes. Dans le rectangle de gauche, on écrit les trois premiers termes sur la première ligne. On écrit les trois derniers sur la deuxième ligne dans l’ordre inverse de l’écriture. On écrit sur la première ligne du tableau de droite les nombres des cases colorées, les autres nombres sur la deuxième ligne.

Exemple 1. On choisit les entiers de 1 à 7. On écrit les nombres, sauf 4, dans le rectangle de gauche. On transfère les nombres dans le rectangle de droite en tenant compte des couleurs.

Ce rectangle est magique. La somme dans chaque ligne est 12 et dans chaque colonne 8.

Une des propriétés de ce rectangle est de générer des égalités de carrés. En effet, on peut écrire :

1² + 5² + 6² = 2² + 3² + 7² = 62.

Exemple 2. On choisit la suite 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27. On écrit les nombres, sauf 15, dans le rectangle de gauche. On obtient ceci :

Le rectangle de droite est magique. La somme dans chaque ligne est 45 et dans chaque colonne 30.

On peut écrire :

3² + 19² + 23² = 7² + 11² + 27² = 899.

Problème 2

Comment composer des rectangles magiques d’ordre 2 × 4 ?

Démarche

Exemple 1. On choisit les entiers de 1 à 8. Dans les rectangles, on écrit les nombres d’après la démarche précédente.

Le rectangle de droite est magique. La somme dans chaque ligne est 18 et dans chaque colonne 9.

On peut écrire :

1² + 4² + 6² + 7² = 2² + 3² + 5² + 8² = 102.

Exemple 2. On choisit la suite 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23. Dans les rectangles, on écrit les nombres d’après la démarche précédente.

Le rectangle de droite est magique. La somme dans chaque ligne est 50 et dans chaque colonne 25.

On peut écrire :

2² + 11² + 17² + 20² = 5² + 8² + 14² + 23² = 814.

Problème 3

Comment composer des rectangles magiques d’ordre 2 × 5 ?

Démarche

Exemple 1. On choisit les entiers de 1 à 13, sauf 6, 7 et 8. On procède comme précédemment.

Le rectangle de droite est magique. La somme dans chaque ligne est 35 et dans chaque colonne 14.

On peut écrire :

1² + 3² + 9² + 10² + 12² = 2² + 4² + 5² + 11² + 13² = 335.

Exemple 2. Composez un rectangle magique d’ordre 2 × 5 à partir de la suite 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, 38, en retranchant 17, 20 et 23.

Problème 4

Comment composer des rectangles magiques d’ordre 2 × 6 ?

Démarche

On choisit les entiers de 1 à 12. Dans le premier rectangle, on écrit les nombres à la suite et on colorie en faisant les calculs appropriés. On peut obtenir :

Le rectangle est magique. La somme dans chaque ligne est 39 et dans chaque colonne 13.

On peut écrire :

1² + 3² + 7² + 8² + 9² + 11² = 2² + 4² + 5² + 6² + 10² + 12² = 325.

Problème 5

Comment composer des rectangles magiques d’ordre 2 × 7 ?

Démarche

On choisit les nombres de 1 à 15, sauf 8. Dans le premier rectangle, on écrit les nombres à la suite et on colorie en faisant les calculs appropriés. On peut obtenir :

Le rectangle est magique. La somme dans chaque ligne est 56 et dans chaque colonne 16.

On peut écrire :

1² + 2² + 7² + 10² + 11² + 12² + 13² = 3² + 4² + 5² + 6² + 9² + 14² + 15² = 588.

Problème 6

Comment composer des rectangles magiques d’ordre 2 × 8 ?

Démarche

On choisit les nombres de 1 à 16. Dans le premier rectangle, on écrit les nombres à la suite et on colorie en faisant les calculs appropriés. On peut obtenir :

Le rectangle est magique. La somme dans chaque ligne doit être 68 et dans chaque colonne 17.

On peut écrire :

1² + 3² + 6² + 8² + 10² + 12² + 13² + 15² = 2² + 4² + 5² + 7² + 9² + 11² + 14² + 16² = 748.

Dans chacune des égalités de carrés ci-avant, on peut additionner un même nombre à chaque terme. Par exemple, dans le dernier cas, quand on additionne 13, on a :

14² + 16² + 19² + 21² + 23² + 25² + 26² + 28² = 15² + 17² + 18² + 20² + 22² + 24² + 27² + 29² = 3868.

Conclusion

La démarche générale peut être appliquée à tous les rectangles d’ordre 2 × n.

P. S. Ceci est le 200^e article publié dans la section Propos mathématiques.

# 6615              18 novembre 2022

La division

1. Suites arithmétiques de premier degré

Une suite arithmétique de premier degré est une suite de nombres tels que chacun est égal au prédécesseur augmenté d’un nombre constant. Par exemple, 1, 4, 7, 10, 13, 16, … est une suite arithmétique dont la raison est 3.

Problème. Dans une suite arithmétique, le cinquième nombre est 17 et le vingtième nombre est 62. Trouvez le douzième nombre.

Solution. Au lieu de se servir des algorithmes habituels, on applique la division en retenant le reste. On fait : 17 ÷ 5 = 3 reste 2 et 62 ÷ 20 = 3 reste 2. On obtient le même résultat. Le nombre 17 est formé par 5 × 3 + 2 et 62 par 20 × 3 + 2. Le nombre inconnu sera formé selon le même modèle : 12 × 3 + 2 = 38. Le douzième nombre est 38.

2. Les nombres binaires

Les nombres binaires sont formés des chiffres 0 et 1. On dit qu’ils sont en base 2. Les 10 plus petits nombres binaires sont : 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010. Pour convertir en binaire un nombre écrit dans le système décimal, on peut utiliser la division.

• On divise le nombre donné par 2 en retenant le reste.

• On divise successivement chacun des quotients par 2, toujours en retenant le reste.

• On cesse d’effectuer la division par 2 quand le quotient est 0.

• On écrit les restes dans l’ordre en commençant vers la fin jusqu’au début.

Problème. Écrivez 79 dans le système binaire.

Solution. On fait : 79 ÷ 2 = 39 reste 1, 39 ÷ 2 = 19 reste 1, 19 ÷ 2 = 9 reste 1, 9 ÷ 2 = 4 reste 1, 4 ÷ 2 = 2 reste 0, 2 ÷ 2 = 1 reste 0, 1 ÷ 2 = 0 reste 1. Le nombre 79 en binaire est 1 001 111.

3. Les factorielles

La factorielle d’un entier naturel n est le produit des n entiers consécutifs de 1 à n. Ainsi, la factorielle de 6, notée 6! est égale à 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6, donc 720. On écrit : 6! = 720.

Pour trouver le nombre de zéros à la fin de n!, on peut utiliser la division par 5.

• On divise le nombre donné par 5 et on retient la partie entière.

• On répète cette opération jusqu’à ce que le quotient soit inférieur à 5.

• On additionne les quotients entiers.

Problème. Combien y a-t-il de zéros à la fin de 62! ?

Solution. On fait : 62 ÷ 5 = 12,4 et 12 ÷ 5 = 2,4. La somme de 12 et de 2 est 14. Le nombre de zéros de 62! est 14. Par ailleurs, 62! est composé de 86 chiffres.

Conclusion

On peut constater la puissance de la division dans les trois cas cités. Sauf dans le deuxième cas, le nombre d’étapes est limité : ce qui amplifie alors la richesse de cette stratégie.

# 6585             30 octobre 2022

Carrés et suites (2)

Nous pouvons nous servir de la théorie des suites pour trouver des égalités de carrés. Nous allons réaliser des égalités de 12, 14 et 16 carrés.

Égalité de 12 carrés

Sur la première ligne, on écrit une suite. Sur la deuxième ligne, on commence l’autre suite avec le dernier terme de la suite précédente. On applique la même raison. On colorie les cases selon une certaine symétrie. Un membre de l’égalité est formé par le carré des nombres des cases d’une même couleur. L’autre membre est formé par le carré des nombres des cases de l’autre couleur.

On obtient :

1² + 13² + 16² + 22² + 34² + 37² = 4² + 7² + 19² + 25² + 28² + 40² = 3435

Égalité de 14 carrés

Cas 1. On peut modifier la disposition des cases colorées tout en respectant une certaine symétrie.

Après avoir supprimé les doublons de part et d’autre, on obtient :
1² + 7² + 16² + 25² + 31² + 34² + 40² = 4² + 10² + 13² + 19² + 28² + 37² + 43² = 4648

Cas 2. Sur la première ligne, on écrit les nombres de 1 à 7. On additionne 8 à chaque nombre.

On obtient :

1² + 2² + 7² + 10² + 11² + 12² + 13² = 3² + 4² + 5² + 6² + 9² + 14² + 15² = 588

Égalité de 16 carrés

Cas 1. On écrit sur la première ligne les nombres de 2 à 9. La raison est 1. En additionnant 8, on obtient une seconde suite dont la raison est encore 1.

On peut écrire :

2² + 4² + 7² + 9² + 11² + 13² + 14² + 16² = 3² + 5² + 6² + 8² + 10² + 12² + 15² + 17² = 892

Si on soustrait 1 à chacun des termes cette égalité, on a tous les entiers de 1 à 16. On peut écrire :

1² + 3² + 6² + 8² + 10² + 12² + 13² + 15² = 2² + 4² + 5² + 7² + 9² + 11² + 14² + 16² = 748

Cas 2. On peut modifier la disposition des cases colorées tout en respectant une certaine symétrie.