# 5215             21 janvier 2020

Rectangles magiques 2 × n

Un rectangle magique est une grille rectangulaire composée de m lignes et de n colonnes dans laquelle on peut écrire des nombres, ordinairement des entiers. La somme de chaque ligne doit être unique et la somme de chaque colonne doit être aussi unique mais différente de celle des lignes. Un rectangle magique m × n qui contient les nombres de 1 à mn est dit normal.

Pour trouver la somme de chaque ligne et celle de chaque colonne, on procède ainsi :

• On additionne les nombres qu’on veut inclure dans la grille.

• On divise la somme par le nombre de lignes, soit m : c’est la somme de chaque ligne.

• On divise la somme par le nombre de colonnes, soit n : c’est la somme de chaque colonne.

Si la somme totale des nombres n’est pas divisible par m ou encore par n, on ne peut pas former un rectangle magique normal. Par ailleurs, si la somme totale est divisible par m et par n, cela ne signifie nécessairement pas qu’on puisse former un rectangle magique.

Nous allons étudier quelques cas de rectangles d’ordre différent.

Un rectangle 2 × 3

La somme des nombres de 1 à 6 est 15. Or, 15 ÷ 2 = 7,5. Il n’existe pas de rectangle magique normal 2 × 3. Toutefois, on peut former un rectangle magique avec les nombres de 1 à 7 sauf 4. La somme sur chaque ligne doit être 12 et celle de chaque colonne 8.

Pour trouver une configuration, on écrit 1, 2 et 3 sur la première ligne. On complète chaque colonne pour que la somme soit 8.

La différence, par colonne, entre les deux lignes est successivement 6, 4 et 2. La somme est 12. On peut partager cette somme en deux groupes  de 6 : 6 et 4 + 2 = 6. On recherche, par ligne, une somme de 12 en intervertissant les nombres d’un des deux groupes. Dans ce cas, on peut intervertir 1 et 7 pour former ce rectangle magique.

Un rectangle 2 × 4

La somme des nombres de 1 à 8 est 36. La somme des lignes doit être 18 et celle des colonnes 9. On écrit 1, 2, 3 et 4 sur la première ligne et on complète les colonnes pour que la somme soit 9.

La différence, par colonne, entre les deux lignes est successivement 7, 5, 3, 1. La somme est 16. On peut partager cette somme en deux groupes : 7 + 1 = 8 et 5 + 3 = 8. On intervertit les nombres d’un des deux groupes, soit 2 et 7, puis 3 et 6. On obtient ce rectangle magique normal.

Un rectangle 2 × 5

La somme des nombres de 1 à 10 est 55. Comme 55 n’est pas divisible par 2, il n’existe pas de rectangle magique normal de cet ordre.

La prochaine somme divisible par 2 et par 5 est 60. Dans ce cas, on pourrait utiliser les nombres de 1 à 11, sauf 6. La somme sur chaque ligne doit être 30 et celle de chaque colonne 12. On écrit 1, 2, 3, 4 et 5 sur la première ligne et on complète les colonnes.

La différence, par colonne, entre les deux lignes est successivement 10, 8, 6, 4 et 2. La somme des différences est 30. Il est impossible de partager cette somme en deux groupes de 15. Dans ce cas, on ne peut donc pas former un rectangle magique.

La prochaine somme divisible par 2 et par 5 est 70. Dans ce cas, on pourrait utiliser les nombres de 1 à 12, sauf 1 et 7. La somme sur chaque ligne doit être 35 et celle de chaque colonne 14. On écrit 2, 3, 4, 5 et 6 sur la première ligne et on complète les colonnes pour que la somme soit 14.

La différence, par colonne, entre les éléments des deux lignes est successivement 10, 8, 6, 4 et 2. La somme des différences est 30. Il est impossible de partager cette somme en deux groupes de 15. Dans ce cas, on ne peut pas former un rectangle magique.

On essaie de nouveau avec une somme de 70. Dans ce cas, on pourrait utiliser les nombres de 1 à 13, sauf 6, 7 et 8. La somme sur chaque ligne doit être encore 35 et celle de chaque colonne encore 14. On écrit 1, 2, 3, 4 et 5 sur la première ligne et on complète les colonnes.

La différence, par colonne, entre les éléments des deux lignes est successivement 12, 10, 8, 6 et 4. La somme des différences est 40. On peut partager cette somme en deux groupes de 20 : 12 + 8 = 20 et 10 + 6 + 4 = 20. On intervertit 1 et 13, puis 3 et 11. On obtient ce rectangle magique.

Un rectangle 2 × 6

La somme des nombres de 1 à 12 est 78. La somme des lignes doit être 39 et celle des colonnes 13. On écrit 1, 2, 3, 4, 5 et 6 sur la première ligne et on complète les colonnes pour que la somme soit 13.

La différence, par colonne, entre les éléments des deux lignes est successivement 11, 9, 7, 5, 3 et 1. La somme des différences est 36. On peut partager cette somme en deux groupes : 11 + 7 = 18 et 9 + 5 + 3 + 1 = 18. On intervertit 1 et 12,  puis 3 et 10. On obtient ce rectangle magique normal.

À votre tour de tenter de former un rectangle magique 2 × 7.

# 5140             6 décembre 2019

Problèmes de veaux

Nous vous présentons deux problèmes que nous allons analyser.

Problème 1

Tous les veaux de Bernard sont blancs, sauf 3.

Tous les veaux de Bernard sont noirs, sauf 4.

Tous les veaux de Bernard sont rouges, sauf 5.

Combien Bernard a-t-il de veaux de chaque couleur ? Combien a-t-il de veaux au total ?

Solution. Soit B (blanc), N (noir) et R (rouge), on peut écrire :

N + R = 3 (première proposition)

B + R = 4 (deuxième proposition)

B + N = 5 (troisième proposition)

Posons N = 1. Alors, R = 2, B = 2, N = 3 : à rejeter car on a posé que N = 1.

Posons N = 2. Alors, R = 1, B = 3, N = 2 : valide car on a posé que N = 2.

Bref, Bernard a 2 veaux noirs, 1 rouge, 3 blancs, soit 6 veaux au total.

Autre démarche

1. Pour trouver le nombre de veaux, on pourrait additionner les nombres après les « sauf » et diviser par 2. Le diviseur est donné par le nombre, moins 1, de propositions. On peut écrire : 3 + 4 + 5 = 12 et 12 ÷ 2 = 6. Au total, Bernard a 6 veaux.

2. Pour trouver la couleur des veaux quand on connaît leur nombre, on peut procéder ainsi : du total, on soustrait le nombre de chaque « sauf » et on retient la couleur qui précède « sauf ». Par exemple, comme tous les veaux de Bernard sont rouges sauf 5, on fait 6 – 5 = 1 : ce qui donne un veau rouge.

3. Si la somme des « sauf » est un nombre impair, le problème est insoluble.

Problème 2

Tous les veaux de Julie sont rouges, sauf 7.

Tous les veaux de Julie sont gris, sauf 8.

Tous les veaux de Julie sont noirs, sauf 6.

Tous les veaux de Julie sont blancs, sauf 9.

Combien Julie a-t-elle de veaux de chaque couleur ? Combien a-t-elle de veaux au total ?

Solution. Inspirons-nous des dernières remarques. Additionnons les nombres de chaque « sauf ». Cela donne 30. Divisons par 3, soit le nombre, moins 1, de propositions. Le quotient est 10. Julie a 10 veaux au total.

Trouvons la couleur des veaux. Du total, soustrayons chaque nombre de « sauf » et retenons la couleur qui précède « sauf ».

Julie a 3 veaux rouges (10 – 7 = 3), 2 gris (10 – 8 = 2), 4 noirs (10 – 6 = 4) et 1 blanc (10 – 9 = 1).

Si la somme des « sauf » n’est pas un multiple de 3, le problème est insoluble.

En terminant, je vous propose de composer un problème du même genre et de le soumettre à vos proches.

# 5115             21 novembre 2019

Cavalier et rectangles

Pour se déplacer, un cavalier a besoin d’un rectangle 2 × 3. Il peut passer d’une case colorée à une autre de la même couleur. Malheureusement, il ne peut pas aller plus loin. Il est coincé. Tout ce qu’il peut faire, c’est de retourner à son point de départ.

Une grille rectangulaire étant donnée, on se demande si le cavalier pourra parcourir toutes les cases une et une seule fois.

Une grille 3 × 4

On place le cavalier dans la case centrale de la première colonne et on se déplace dans le sens contraire des aiguilles d’une montre. On obtient une configuration.

De 13, on soustrait chaque élément du rectangle précédent. On obtient un chemin qui débute dans le coin supérieur gauche. C’est une seconde configuration.

On intervertit la première et la troisième ligne. On obtient une configuration équivalente.

Une grille 3 × 5

Le cavalier ne peut pas parcourir toutes les cases de cette grille. Au maximum, il peut en atteindre 14 au lieu de 15. Voici un exemple :

Une grille 3 × 6

On aurait pu penser que l’ajout de cases favoriserait un parcours. Dans cette grille, le cavalier peut parcourir 17 cases au lieu de 18. Voici un exemple :

Une grille 3 × 7

Dans cette grille, le cavalier peut parcourir toutes les cases comme dans l’exemple ci-après. La façon de procéder a été de remplir le contour de la grille 3 × 3 de gauche et de faire de même dans la grille 3 × 3 de droite.

Dans les grilles suivantes dont un côté contient trois cases, soit 3 × 8, 3 × 9 et ainsi de suite. Il existe des configurations.

Il est possible de trouver des configurations aux grilles dont un côté contient quatre cases à partir de 4 × 5. Voici un exemple dans quelques cas :

Une grille 4 × 5

Une grille 4 × 6

Une grille 4 × 7

Une grille 5 × 6

Il est possible de trouver des solutions aux grilles dont un côté contient cinq cases à partir de 4 × 5. Voici un exemple dans une grille 5 × 6.

# 5095             9 novembre 2019

Carrés magiques d’ordre 4 et cubes

Restreignons notre recherche aux carrés magiques d’ordre 4 et aux identités de sommes de cubes qui peuvent en découler.

Dressons un tableau comportant la somme de deux cubes dont la somme des bases est 17. Additionnons deux à deux les résultats. On a le tableau suivant :

À titre d’exemple, on peut lire : 2771 + 1547 = 4318 ou 3³ + 14³ + 6³ + 11³ = 4318. Le tableau montre quatre fois deux sommes égales : 3094, 4114, 4624 et 5644. La différence des deux premières sommes est 1020. Celle des deux dernières sommes est aussi 1020.

1. Les sommes sont 3094

Du tableau, on peut tirer :

5³ + 12³ + 8³ + 9³ = 3094

6³ + 11³ + 6³ + 11³ = 3094

Comme des éléments apparaissent deux fois, on s’abstiendra d’illustrer ces deux identités.

2. Les sommes sont 4114

Du tableau, on peut tirer :

3³ + 14³ + 7³ + 10³ = 4114

4³ + 13³ + 5³ + 12³ = 4114

Dans le carré magique suivant, le numéro 292 de Frénicle, les éléments d’une identité apparaissent sur deux lignes dans les quatre colonnes. Les éléments de l’autre apparaissent dans deux colonnes sur les quatre lignes. Il y a une certaine régularité.

3. Les sommes sont 4624

Du tableau, on peut tirer :

2³ + 15³ + 8³ + 9³ = 4624

3³ + 14³ + 5³ + 12³ = 4624

Dans le carré magique suivant, le numéro 116 de Frénicle, les éléments d’une identité apparaissent dans une diagonale brisée. Les éléments de l’autre apparaissent dans l’autre diagonale brisée. Il y a une certaine symétrie.

4. Les sommes sont 5644

Du tableau, on peut tirer :

1³ + 16³ + 6³ + 11³ = 5644

2³ + 15³ + 4³ + 13³ = 5644

Dans le carré magique suivant, le numéro 839 de Frénicle, les éléments d’une identité sont aux sommets d’un carré 3 × 3. Les éléments de l’autre apparaissent sur deux lignes différentes, soit aux extrémités et au centre. On y voit une certaine régularité.

5. Autres identités

Pour obtenir d’autres identités, on peut combiner les résultats de deux sommes.

Prenons les sommes 5644 et 4624. On peut écrire :

1³ + 16³ + 6³ + 11³ + 2³ + 15³ + 8³ + 9³ = 10 268

2³ + 15³ + 4³ + 13³ + 3³ + 14³ + 5³ + 12³ = 10 268

Après avoir biffé 2³ + 15³ et mis en ordre les éléments, on a :

1³ + 6³ + 8³ + 9³ + 11³ + 16³ = 3³ + 4³ + 5³ + 12³ + 13³ + 14³ = 6885

On a une somme de six cubes qui est égale à une somme de six autres cubes.

Avec les sommes 4624 et 4114, on peut obtenir :

2³ + 7³ + 8³ + 9³ + 10³ + 15³ = 4³ + 5³ + 5³ + 12³ + 12³ + 13³ = 5967

Avec les sommes 5644 et 4114, on peut obtenir :

1³ + 5³ + 6³ + 11³ + 12³ + 16³ = 2³ + 3³ + 7³ + 10³ + 14³ + 15³ = 7497

Les identités de cet article sont aussi vraies si l’exposant est 1 ou 2.

# 5035             9 octobre 2019

Carrés magiques d’ordre 4 et carrés

Restreignons notre recherche aux carrés magiques d’ordre 4 et aux identités de sommes de carrés qui peuvent en découler.

Dressons un tableau comportant la somme de deux carrés dont la somme des bases est 17. Additionnons deux à deux les résultats. On a le tableau suivant :

À titre d’exemple, on peut lire : 205 + 157 = 362 ou 3² + 14² + 6² + 11² = 362. Le tableau montre quatre fois deux sommes égales : 314, 354, 374 et 414. La différence des deux premières sommes est 40. Celle des deux dernières est aussi 40.

1. Les sommes sont 314

Du tableau, on peut tirer :

5² + 12² + 8² + 9² = 314

6² + 11² +  6² + 11² = 314

Comme des éléments apparaissent deux fois, on s’abstiendra d’illustrer ces deux identités.

2. Les sommes sont 354

Du tableau, on peut tirer :

3² + 14² + 7² + 10² = 354

4² + 13² +  5² + 12² = 354

Dans le carré magique suivant, le numéro 292 de Frénicle, les éléments de la première identité apparaissent dans deux colonnes sur les quatre lignes. Les éléments de l’autre apparaissent sur deux lignes dans les quatre colonnes.

Il y a symétrie.

3. Les sommes sont 374

Du tableau, on peut tirer :

2² + 15² + 8² + 9² = 374

3² + 14² +  5² + 12² = 374

Dans le carré magique suivant, le numéro 116 de Frénicle, les éléments d’une identité apparaissent dans une diagonale brisée. Les éléments de l’autre apparaissent dans l’autre diagonale brisée.

La symétrie est plus évidente que dans le cas précédent.

4. Les sommes sont 414

Du tableau, on peut tirer :

1² + 16² + 6² + 11² = 414

2² + 15² +  4² + 13² = 414

Dans le carré magique suivant, le numéro 839 de Frénicle, les éléments de la première identité sont aux sommets d’un carré 3 × 3. Les éléments de l’autre apparaissent sur deux lignes différentes et dans deux mêmes colonnes. On y voit une certaine symétrie.

 5. Autres identités
Pour obtenir d’autres identités, on peut combiner les résultats de deux sommes.

Prenons les sommes 354 et 374. On peut écrire :

3² + 14² + 7² + 10² + 2² + 15² + 8² + 9² = 728

4² + 13² +  5² + 12² + 3² + 14² +  5² + 12² = 728

Comme 3² + 14² apparaissent dans les deux identités, on peut les biffer. En ordre,  on a :

2² + 7² + 8² + 9² + 10² + 15² = 4² + 5² + 5² + 12² + 12² + 13² = 523

On a une somme de six carrés qui est égale à une autre somme de six carrés.

# 5015             27 septembre 2019

Une grille magique

Problème. Placez les nombres de 1 à 11 dans la grille ci-après pour que la somme soit la même dans chacune des cinq rangées de trois cases.

Quatre cases appartiennent à deux rangées : les cases marquées 2. Elles sont de degré 2. Les sept autres appartiennent seulement à une rangée. Elles sont de degré 1. Voici la répartition :

On suppose qu’on dispose 1, 2, 3 et 4 dans les cases de degré 2 et les autres nombres dans les cases de degré 1. On peut écrire :

2(1 + 2 + 3 + 4) + (5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11) = 76.

Comme il y a cinq rangées, on fait : 76 ÷ 5 = 15,2. La plus petite somme probable par rangée est donc 16.

On suppose qu’on place 8, 9, 10 et 11 dans les cases de degré 2 et les autres nombres dans les cases de degré 1. On peut écrire :

2(8 + 9 + 10 + 11) + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7) = 104.

Comme il y a cinq rangées, on fait : 104 ÷ 5 = 20,8. La plus grande somme probable par rangée est donc 20.

La somme par rangée est 16

Écrivons a au milieu de la première colonne. La somme des éléments des cases de degré 2 est (16 + a). Comme la somme des 11 éléments est 66, la somme des éléments de degré 1 est (50 – a). La somme de 2(16 + a) et de (50 – a) est (82 + a). Comme on a cinq rangées, chacune ayant une somme de 16, on fait : 16 × 5 = 80. On peut écrire : 82 + a = 80. D’où, a = -2.

Il n’y a pas de configuration possible lorsque la somme par rangée est 16, car -2 n’appartient pas à la suite des nombres de 1 à 11.

La somme par rangée est 17

On peut écrire : 2(17 + a) + (49 – a) = 83 + a

83 + a = 85

D’où, a = 2

Voici une configuration possible lorsque la somme par rangée est 17 :

La somme par rangée est 18

On peut écrire : 2(18 + a) + (48 – a) = 84 + a

84 + a = 90

D’où, a = 6

Voici une configuration possible lorsque la somme par rangée est 18 :

La somme par rangée est 19

On trouve un rectangle complémentaire quand, de 12, on soustrait des éléments d’une configuration. Comme chaque rangée contient des triplets, on multiplie 12 par 3 : ce qui donne 36. Pour trouver la somme par rangée dans le rectangle complémentaire, on soustrait 36 de 19. La différence est 17. Prenons le rectangle dont la somme par rangée est 17. De 12, soustrayons chacun des éléments. On obtient :

La somme par rangée est 20

Le rectangle complémentaire a une somme de 16 par rangée. Comme il n’y a pas de configuration possible lorsque la somme par rangée est 16, il n’y en a pas lorsque la somme est 20.

Conclusion

La case centrale de la première colonne ne peut recevoir que 2, 6 et 10 selon les sommes respectives par rangée. Cette condition limite les possibilités de recherche et permet d’obtenir plus facilement des configurations.

# 4985             9 septembre 2019

Propriétés d’un carré magique d’ordre 4

Un carré magique d’ordre 4 est une grille carrée 4 × 4 dans laquelle on place 16 nombres de telle manière que la somme est toujours la même sur chaque ligne, dans chaque colonne et dans chacune des deux diagonales principales. Un tel carré magique est normal quand on dispose les entiers de 1 à 16.

Nous allons étudier un carré magique normal en donnant le plus possible de propriétés.

Les propriétés essentielles sont :

1. La somme des nombres sur chaque ligne est 34.

2. La somme des nombres dans chaque colonne est 34.

3. La somme des nombres dans chaque diagonale principale est 34.

Nous allons indiquer 21 propriétés subsidiaires qui s’appliquent au carré magique ci-dessus et qui pourraient s’appliquer en partie à l’un ou à l’autre des 880 carrés magiques normaux d’ordre 4.

1. Sur chaque ligne, on a deux couples de nombres dont la somme est 17.

2. Dans chaque colonne, on a un couple dont la somme est 15 et l’autre 19.

3. Dans chaque diagonale, on a un couple dont la somme est 13 et l’autre 21.

4. La somme des deux nombres du milieu de la première et de la quatrième ligne est 34.

8 + 9 + 14 + 3 = 34

5. La somme des deux nombres du milieu de la première et de la quatrième colonne est 34.

13 + 7 + 4 + 10 = 34

6. La somme des nombres des quatre carrés 2 × 2 des coins est 34.

2 + 8 + 13 + 11 = 34

9 + 15 + 6 + 4 = 34

7 + 1 + 12 + 14 = 34

16 + 10 + 3 + 5 = 34

7. La somme des nombres de trois carrés 2 × 2 passant par la deuxième et la troisième colonne est 34.

8 + 9 + 11 + 6 = 34

11 + 6 + 1 + 16 = 34

1 + 16 + 14 + 3 = 34

8. La somme des coins des quatre carrés 3 × 3 est 34.

2 + 9 + 7 + 16 = 34

8 + 15 + 1 + 10 = 34

13 + 6 + 12 + 3 = 34

11 + 4 + 14 + 5 = 34

9. La somme des coins du carré 4 × 4 est 34.

2 + 15 + 12 + 5 = 34

10. La somme des diagonales brisées en deux parties égales est 34.

8 + 13 + 10 + 3 = 34

9 + 4 + 7 + 14 = 34

11. La somme des éléments extrêmes de la diagonale de gauche est égale à la somme des deux éléments centraux de l’autre diagonale.

2 + 5 = 1 + 6.

12. La somme des éléments centraux de la diagonale de gauche est égale à la somme des deux éléments extrêmes de l’autre diagonale.

11 + 16 = 15 + 12.

13. La somme des carrés de la première ligne est égale à la somme des carrés de la quatrième ligne.

2² + 8² + 9² + 15² = 374

12² + 14² + 3² + 5² = 374

14. La somme des carrés de la première colonne est égale à la somme des carrés de la quatrième colonne.

2² + 13² + 7² + 12² = 366

15² + 4² + 10² + 5² = 366

15. La somme des carrés de la deuxième colonne est égale à la somme des carrés de la troisième colonne.

8² + 11² + 1² + 14² = 382

9² + 6² + 16² + 3² = 382

16. En regroupant les identités des propriétés 14 et 15, on obtient deux identités qui contiennent les nombres de 1 à 16 :

1² + 2² + 7² + 8²+ 11² + 12² + 13² + 14² = 748

3²+ 4² + 5² + 6² + 9² + 10² + 15² + 16² = 748

17. La somme des carrés d’une diagonale est égale à la somme des carrés de l’autre diagonale et aussi à la somme des carrés de la troisième ligne.

2² + 11² + 16² + 5² = 406

15² + 6² + 1² + 12² = 406

7² + 1² + 16² + 10² = 406

18. La somme des carrés d’une diagonale brisée en deux parties est égale à la somme des carrés de l’autre diagonale brisée et aussi à la somme des carrés de la deuxième ligne.

8² + 13² + 10² + 3² = 342

9² + 4² + 7² + 14² = 342

13² + 11² + 6² + 4² = 342

19. La somme des carrés du petit carré 2 × 2 du coin supérieur gauche est égale à la somme des carrés du petit carré 2 × 2 du coin supérieur droit, à la somme des carrés des sommets du carré 3 × 3 du coin inférieur gauche de même qu’à la somme des carrés des sommets du carré 3 × 3 du coin inférieur droit.

2² + 8² + 13² + 11² = 358

9² + 15² + 6² + 4² = 358

13² + 6² + 12² + 3² = 358

11² + 4² + 14² + 5² = 358

20. La somme des carrés du petit carré 2 × 2 du coin inférieur gauche est égale à la somme des carrés du petit carré 2 × 2 du coin inférieur droit, à la somme des carrés des sommets du carré 3 × 3 du coin supérieur gauche de même qu’à la somme des carrés des sommets du carré 3 × 3 du coin supérieur droit.

7² + 1² + 12² + 14² = 390

16² + 10² + 3² + 5² = 390

2² + 9² + 7² + 16² = 390

8² + 15² + 1² + 10² = 390

21. La somme des cubes de la première ligne est égale à la somme des cubes de la quatrième ligne.

2³ + 8³ + 9³ + 15³ = 4624

12³ + 14³ + 3³ + 5³ = 4624

Il existe certainement d’autres propriétés.

Aux élèves qui n’ont pas lu cet article, on peut leur proposer de découvrir des propriétés en leur servant de guide. À ceux qui ont lu l’article, on leur propose un autre carré magique normal d’ordre 4.

# 4960             24 août 2019

Histoire d’un escalier

Un apprenti géomètre a dessiné sur papier un escalier avec des petits carrés qui se touchent. Il n’y a pas de doute. L’escalier ne s’est pas effondré. Toutefois, le maître de l’apprenti a d’autres préoccupations. Voici la représentation d’un escalier de 10 marches :

Question 1. Combien a-t-on besoin de petits carrés pour confectionner un escalier de 100 marches, en considérant le palier supérieur comme une marche ?

Solution. Pour la marche du haut, on a besoin de 1 carré.

Pour les deux marches du haut, on a besoin de 3 carrés.

Pour les trois marches du haut, on a besoin de 6 carrés.

Pour les quatre marches du haut, on a besoin de 10 carrés.

La suite est 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, etc. Le terme général est une suite du deuxième degré, soit de la forme an² + bn + c où n est le rang du terme. C’est la suite des nombres triangulaires.

Pour trouver le terme général, on procède ainsi.

Si n = 1, a + b + c = 1.

Si n = 2, 4a + 2b + c = 3.

Si n = 3, 9a + 3b + c = 6.

En soustrayant la première équation de la deuxième, on obtient : 3a + b = 2.

En soustrayant la deuxième équation de la troisième, on obtient : 5a + b = 3.

En soustrayant ces deux équations, on trouve : a = ½ et b = ½. On remplace les variables par ces valeurs dans une des premières équations. On obtient : c = 0. Le terme général est ½n² + ½n ou n(n + 1)/2.

Si on veut fabriquer un escalier de 100 marches, on remplace n par 100. Le résultat est 5050. On a besoin de 5050 petits carrés pour un escalier de 100 marches.

Question 2. Combien peut-on compter de carrés 2 × 2 dans un escalier de 100 marches ?

Solution. Sur la première rangée horizontale, on compte 0 carré 2 × 2.

Sur les deux premières rangées horizontales, on compte 0 carré 2 × 2.

Sur les trois premières rangées horizontales, on compte 1 carré 2 × 2.

Sur les quatre premières rangées horizontales, on compte 3 carrés 2 × 2.

Sur les cinq premières rangées horizontales, on compte 6 carrés 2 × 2.

Sur les six premières rangées horizontales, on compte 10 carrés 2 × 2.

On retrouve la même suite précédée de deux 0 : 0, 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, etc. On remplace n par (n – 2) dans le terme général trouvé précédemment. Au lieu d’avoir n(n + 1)/2, on a (n – 2)(n – 2 + 1)/2, soit (n – 2)(n – 1)/2 pour n ≥ 2.

On remplace n par 100. On peut compter 4851 carrés 2 × 2.

Question 3. Combien peut-on compter de carrés 3 × 3 dans un escalier de 100 marches ?

Solution. Sur les quatre premières rangées horizontales, on compte 0 carré 3 × 3.

Sur les cinq premières rangées horizontales, on compte 1 carré 3 × 3.

Sur les six premières rangées horizontales, on compte 3 carrés 3 × 3.

Sur les sept premières rangées horizontales, on compte 6 carrés 3 × 3.

Sur les huit premières rangées horizontales, on compte 10 carrés 3 × 3.

On retrouve la même suite précédée de quatre 0 : 0, 0, 0, 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, etc. On remplace n par (n – 4) dans le terme général trouvé dans la première solution. Au lieu d’avoir n(n + 1)/2, on a (n – 4)(n – 4 + 1)/2, soit (n – 4)(n – 3)/2 pour n ≥ 4.

On remplace n par 100. On peut compter 4656 carrés 3 × 3.

Question 4. Combien peut-on compter de carrés 4 × 4 dans un escalier de 100 marches ?

Solution. On procède de la même façon. Le terme général est (n – 6)(n – 5)/2 pour n ≥ 6. On remplace n par 100. On peut compter 4465 carrés 4 × 4.

Question 5. Combien peut-on compter de carrés 5 × 5 dans un escalier de 100 marches ?

Solution. On procède de la même façon. Le terme général est (n – 8)(n – 7)/2 pour n ≥ 8. On peut compter 4278 carrés 5 × 5.

Question 6. Combien peut-on compter de carrés de toute taille dans un escalier de 100 marches ?

Solution. On peut compter 5050 carrés 1 × 1, 4851 carrés 2 × 2, 4656 carrés 3 × 3, 4465 carrés 4 × 4, 4278 carrés 5 × 5. Ces entiers sont formés par le demi-produit de deux nombres consécutifs. Par exemple, 4278 = (92 × 93)/2. Ce sont des triangulaires respectivement de rangs 100, 98, 96, 94 et 92.

Le problème consiste à additionner les nombres triangulaires de rangs pairs de 2 à 100. Pour éviter de longs calculs, on part des plus petits nombres triangulaires de rangs pairs, soit 3, 10, 21, 36, 55, etc. On les additionne de façon consécutive.  Par exemple, on fait : 3 + 10 = 13, 3 + 10 + 21 = 34, 3 + 10 + 21 + 36 = 70, etc. Cela donne : 3, 13, 34, 70, 125, etc.

On fait le tableau des différences successives.

La suite cherchée est donc de degré 3. Le terme général est an³ + bn² + cn + d où n est le rang du terme.

Si n = 1, on a : a + b + c + d = 3

Si n = 2, on a : 8a + 4b + 2c + d = 13

Si n = 3, on a : 27a + 9b + 3c + d = 34

Si n = 4, on a : 64a + 16b + 4c + d = 70

On résout les quatre équations. On trouve : a = 2/3, b = 3/2, c = 5/6, d = 0. Le terme général de la suite est : (4n³ + 9n² + 5n)/6. Comme on a considéré seulement les rangs pairs, on remplace n par 50 : ce qui donne 87 125.

On peut compter 87 125 carrés de toute taille dans un escalier de 100 marches.

# 4935             9 août 2019

Carrés magiques et cubes

Nous savons qu’il existe des liens entre la somme des cubes de la première et de la troisième ligne dans un carré magique d’ordre 3. Nous allons étudier d’autres liens qui unissent deux carrés magiques par rapport aux cubes.

On construit deux carrés magiques au hasard.

Premier carré

La somme des cubes de la première ligne est : 17³ + 1³ + 12³ = 6642.

La somme des cubes de la troisième ligne est : 8³ + 19³ + 3³ = 7398.

La différence des sommes est 756.

Deuxième carré

La somme des cubes de la première ligne est : 18³ + 23³ + 4³ = 18 063.

La somme des cubes de la troisième ligne est : 26³ + 7³ + 12³ = 19 647.

La différence des sommes est 1584.

Pour qu’on puisse associer des sommes de cubes entre elles, il faut que les différences des sommes soient égales. Ce n’est pas le cas dans cet exemple puisque la différence est 756 d’une part, et 1584 d’autre part.

Pour avoir les mêmes différences, il est nécessaire qu’un carré magique soit issu l’un de l’autre par l’addition ou la soustraction de ses éléments.

Par addition

Construisons un premier carré magique, celui de gauche. Additionnons 9 à chacun des éléments de ce carré. On obtient un second carré magique.

Premier carré

La somme des cubes de la première ligne est : 10³ + 2³ + 9³ = 1737.

La somme des cubes de la troisième ligne est : 5³ + 12³ + 4³ = 1917.

La différence des sommes est 180.

Deuxième carré

La somme des cubes de la première ligne est : 19³ + 11³ + 18³ = 14 022.

La somme des cubes de la troisième ligne est : 14³ + 21³ + 13³ = 14 202.

La différence des sommes est 180.

Soit A1, la première ligne du premier carré, A3 la troisième ligne du premier carré, B1 la première ligne du deuxième carré, B3 la troisième ligne du deuxième carré. Comme la différence de sommes des cubes sont identiques dans les deux carrés, on peut écrire : A1 – A3 = B1 – B3. Ce qui revient à : A1 + B3 = A3 + B1.

On peut écrire :

10³ + 2³ + 9³ + 14³ + 21³ + 13³ = 19³ + 11³ + 18³ + 5³ + 12³ + 4³ = 15 939.

En ordre, on a :

2³ + 9³ + 10³ + 13³ + 14³ + 21³ = 4³ + 5³ + 11³ + 12³ + 18³ + 19³ = 15 939.

La somme des cubes des éléments de la première ligne d’un premier carré magique d’ordre 3 à laquelle on additionne la somme des cubes des éléments de la troisième ligne d’un deuxième carré dont les termes sont augmentés d’un même nombre est égale à la somme des cubes des éléments de la première ligne du deuxième carré à laquelle on additionne la somme des cubes des éléments de la troisième ligne du premier carré.

Cette proposition est vraie aussi pour les colonnes. On peut écrire :

10³ + 6³ + 5³ + 18³ + 17³ + 13³ = 9³ + 8³ + 4³ + 19³ + 15³ + 14³ = 14 283.

En ordre, on a :

5³ + 6³ + 10³ + 13³ + 17³ + 18³ = 4³ + 8³ + 9³ + 14³ + 15³ + 19³ = 14 283.

Par soustraction

Dans le cas précédent, on pourrait soustraire 9 à chacun des éléments du deuxième carré. On obtiendrait le premier carré. Il s’agit donc d’une situation identique.

Justification

Lorsqu’on additionne ou soustrait un même nombre à chacun des éléments d’un carré magique, on obtient un second carré magique. Certaines propriétés ne changent pas.

• On a la même raison sur chacune des deux diagonales.

• On a la même différence entre l’élément central de la première ligne et celui de la troisième ligne.

Dans les deux carrés magiques précédents, la raison d’une diagonale est 3, la raison de l’autre diagonale est 2, puis la différence entre l’élément central de la première ligne et celui de la troisième ligne est 10. Il s’ensuit que la différence des sommes de cubes de la première et de la troisième ligne est identique dans chaque carré magique : ce qui permet d’établir une identité.

Autres identités de cubes

On compose un carré magique d’ordre 3. On forme un second carré magique en soustrayant chacun de ses éléments d’un même nombre, soit de 32 dans ce cas.

La somme des cubes de la première ligne (ou colonne) des deux carrés magiques est égale à la somme des cubes de la troisième ligne (ou colonne) des mêmes carrés.

On peut écrire :

Lignes : 13³ + 1³ + 10³ + 19³ + 31³ + 22³ = 6³ + 15³ + 3³ + 26³ + 17³ + 29³ = 50 496.

En ordre, on a : 1³ + 10³ + 13³ + 19³ + 22³ + 31³ = 3³ + 6³ + 15³ + 17³ + 26³ + 29³ = 50 496.

Colonnes : 13³ + 5³ + 6³ + 19³ + 27³ + 26³ = 10³ + 11³ + 3³ + 22³ + 21³ + 29³ = 46 656.

En ordre, on a : 5³ + 6³ + 13³ + 19³ + 26³ + 27³ = 3³ + 10³ + 11³ + 21³ + 22³ + 29³ = 46 656.

Les mêmes nombres forment des identités avec les puissances 1 et 2.

On a : 1 + 10 + 13 + 19 + 22 + 31 = 3 + 6 + 15 + 17 + 26 + 29 = 96.

On a : 1² + 10² + 13² + 19² + 22² + 31² = 3² + 6² + 15² + 17² + 26² + 29² = 2076.

On a : 5 + 6 + 13 + 19 + 26 + 27 = 3 + 10 + 11 + 21 + 22 + 29 = 96.

On a : 5² + 6² + 13² + 19² + 26² + 27² = 3² + 10² + 11² + 21² + 22² + 29² = 1996.

Conclusion

Avec des carrés magiques, on peut former des identités de puissances 1, 2 et 3 comportant les mêmes nombres.

# 4905             18 juin 2019

Propositions sur les cubes

La somme des carrés des éléments de la première ligne d’un carré magique d’ordre 3 est égale à la somme des carrés des éléments de la troisième ligne. Qu’en est-il si on élève chacun de ces éléments au cube ? La somme des cubes des éléments d’une ligne est-elle égale à la somme des éléments d’une autre ligne ?

Somme des cubes

Soit le carré magique suivant :

On fait la somme des cubes de la première ligne : 13³ + 4³ + 10³ = 3261.

On fait la somme des cubes de la troisième ligne : 8³ + 14³ + 5³ = 3381.

Les deux sommes ne sont pas égales. Leur différence est 120.

On multiplie les éléments de la première ligne : 13 × 4 × 10 = 520.

On multiplie les éléments de la troisième ligne : 8 × 14 × 5 = 560.

Les deux produits ne sont pas égaux. Leur différence est 40, soit le tiers de 120. Pour avoir une identité, on doit multiplier ces produits par 3 et les soustraire à la somme des cubes de la même rangée. On doit faire :

3261 – 3 × 520 = 1701

3381 – 3 × 560 = 1701

On peut écrire : 13³ + 4³ + 10³ – 3(13 × 4 × 10) = 8³ + 14³ + 5³ – 3(8 × 14 × 5) = 1701.

Justification

Cette identité est-elle vraie dans tous les carrés magiques d’ordre 3 ?

Procédons par induction mathématique. On additionne 1 à chacun des éléments du carré magique précédent. Si l’identité est vraie, elle sera vraie pour tous les carrés magiques. Le nouveau carré est :

La somme des cubes de la première ligne est : 14³ + 5³ + 11³ = 4200.

La somme des cubes de la troisième ligne est : 9³ + 15³ + 6³ = 4320.

La différence entre les deux sommes est 120.

On multiplie les éléments de la première ligne : 14 × 5 × 11 = 770.

On multiplie les éléments de la troisième ligne : 9 × 15 × 6 = 810.

La différence entre les produits est 40, soit le tiers de 120.

On peut donc écrire :

14³ + 5³ + 11³ – 3(14 × 5 × 11) = 9³ + 15³ + 6³ – 3(9 × 15 × 6) = 1890.

L’identité est vraie dans ce cas. Donc, elle est vraie pour tous les carrés magiques d’ordre 3.

De façon générale, on peut écrire :

a³ + b³ + c³ – 3abc = d³ + e³ + f³ – 3def où les lettres appartiennent aux lignes 1 et 3 d’un carré magique d’ordre 3.

On peut tirer la proposition suivante : La somme des cubes des éléments de la première ligne d’un carré magique d’ordre 3, à laquelle on retranche trois fois le produit de ses éléments, est égale à la somme des cubes des éléments de la troisième ligne, à laquelle on retranche trois fois le produit de ses éléments.

Cette proposition est aussi vraie pour la première et la troisième colonne. En effet, si on fait faire une rotation de 90 degrés au carré, les lignes deviennent les colonnes et réciproquement.

On peut le vérifier pour les colonnes à partir du carré magique précédent : 14³ + 7³ + 9³ – 3(14 × 7 × 9) = 11³ + 13³ + 6³ – 3(11 × 13 × 6) = 1170.

Différence de deux sommes de cubes

On peut trouver la différence entre la somme des cubes de la première ligne et de la troisième ligne sans trouver les cubes.

On multiplie par 3 les résultats suivants :

• la raison (différence entre deux éléments voisins) d’une diagonale

• la raison de l’autre diagonale

• la différence entre l’élément central de la première ligne et celui de la troisième ligne.

Prenons ce carré magique :

Pour trouver la différence, on fait : (8³ + 11³ + 17³) – (7³ + 13³ + 16³) = 3 × 4 × 5 × 2 = 120. La différence des deux sommes est 120.

# 4865             30 mai 2019

Magie d’ordre 3 et carrés

Nous allons appliquer certaines propriétés des carrés magiques d’ordre 3 afin de former des identités de carrés.

Proposition 1. Dans un carré magique d’ordre 3, la somme des carrés des éléments de la première ligne (ou colonne) est égale à la somme des carrés des éléments de la troisième ligne (ou colonne). Voici un carré magique :

On peut écrire pour les lignes : 1² + 6² + 8² = 2² + 4² + 9² = 101.

Montrons que cette proposition est vraie dans tous les carrés magiques d’ordre 3.

Prenons un carré magique généralisé :

La somme des éléments dans chaque ligne, chaque colonne et chaque diagonale est la même, soit 0.

En élevant au carré les éléments de la première ligne, on a : x² + (-x – y)² + y² = x² + x² + 2xy + y² + y² = 2x² + 2xy + 2y².

En élevant au carré les éléments de la troisième ligne, on a : (-y)² + (x + y)² + (-x)² = y² + x² + 2xy + y² + x² = 2x² + 2xy + 2y².

Les deux résultats sont égaux. La proposition est vraie pour les lignes. On peut faire les mêmes calculs pour les colonnes. On a alors pour le carré magique du début : 3² + 4² + 8² = 2² + 6² + 7² = 89.

Proposition 2. Dans un carré magique d’ordre 3, la somme des carrés des éléments de la deuxième ligne et de la deuxième colonne est égale à la somme des carrés des éléments d’une des lignes (première ou troisième) et d’une des colonnes (première ou troisième).

À partir du carré magique du début, on peut écrire :

1² + 5² + 9² + 3² + 5² + 7² = 190

8² + 1² + 6² + 8² + 3² + 4² = 190

En biffant de part et d’autre les termes identiques des deux identités, on obtient :

5² + 5² + 7² + 9² = 4² + 6² + 8² + 8²= 180.

On peut représenter cette identité en colorant les cases et en soulignant le nombre qui apparaît deux fois.

En appliquant la même règle de façon symétrique, on peut écrire :

2² + 2² + 4² + 6² = 1² + 3² + 5² + 5² = 60.

Proposition 3. Dans un carré magique d’ordre 3, la somme des carrés des éléments de la ligne et de la colonne de rang 1 est égale à la somme des carrés des éléments de la ligne et de la colonne de rang 3.

On peut écrire :

8² + 1² + 6² + 8² + 3² + 4² = 190

4² + 9² + 2² + 6² + 7² + 2² = 190

En biffant de part et d’autre les termes identiques des deux identités, on obtient :

1² + 3² + 8² + 8² = 2² + 2² + 7² + 9²= 138.

On peut représenter cette identité en colorant les cases et en soulignant le nombre qui apparaît deux fois.

En appliquant la même règle dans les deux autres coins, on peut écrire :

1² + 6² + 6² + 7² = 3² + 4² + 4² + 9² = 122.

Proposition 4. La somme des carrés des éléments de la première ligne (ou colonne) de deux carrés magiques quelconques est égale à somme des carrés des éléments de la troisième ligne (ou colonne) de ces carrés magiques.

L’identité est : 1² + 6² + 8² + 11² + 15² + 16² = 4² + 9² + 2² + 13² + 12² + 17² = 703.

On pourrait faire de même avec les colonnes. De plus, on pourrait ajouter autant de carrés magiques que l’on veut et produire des identités. Par exemple, le prochain carré magique pourrait contenir les entiers de 19 à 27. Ce qui permettrait d’avoir des entiers différents.

Proposition 5. Quand on additionne ou soustrait un même nombre à chacun des éléments d’un carré magique, le carré conserve toutes les propriétés relatives à la somme des carrés.

Prenons le dernier carré magique ci-haut. Soustrayons 8 à chacun des éléments. On obtient :

Par exemple, on peut écrire : 3² + 7² + 8² = 4² + 5² + 9² = 122.

On peut additionner successivement 1. On aura :

4² + 8² + 9² = 5² + 6² + 10² = 161

5² + 9² + 10² = 6² + 7² + 11² = 206

Il existe d’autres propriétés par rapport aux carrés dans les carrés magiques d’ordre 3. Je vous encourage à en trouver.

# 4835          12 mai 2019

Propriétés du calendrier

Le calendrier porte en lui de nombreuses propriétés mathématiques. Voici une feuille d’un mois de calendrier et quelques propriétés relatives à cette feuille :

• Le reste de la division par 7 de tout élément est indiqué en haut de sa colonne.

• Tous les multiples de 3, sauf 27 le cube de 3, apparaissent dans deux diagonales.

• Un cavalier peut atteindre successivement les cases dont les nombres sont des multiples de 5 et revenir au point de départ : 5, 10, 15, 30, 25, 20, 5.

• Tous les multiples de 6 sont sur une même diagonale.

• La somme des éléments sur chaque ligne comportant 7 éléments est égale à 7 fois l’élément central.

• La somme des éléments dans chaque colonne comportant 5 éléments est égale à 5 fois l’élément central.

• Dans un carré 3 × 3, la somme des éléments extrêmes de chaque diagonale est égale à 2 fois le terme central.

• Dans un carré 3 × 3, la somme des éléments des quatre coins est égale à 4 fois l’élément central.

• Dans un carré 3 × 3, la somme des éléments du contour est égale à 8 fois l’élément central.

• Dans un carré 3 × 3, la somme des éléments centraux des lignes et des colonnes autres qu’au milieu est égale à 4 fois l’élément central.

• Dans un carré 3 × 5, la somme des éléments centraux (en gris) des lignes et des colonnes est égale à 4 fois l’élément central. Il en est ainsi pour les autres couleurs.

• Dans un carré 4 × 4, la somme des éléments extrêmes d’une diagonale est égale à la somme des deux éléments de l’autre diagonale.

• À partir des éléments d’un carré 3 × 3, (carré de gauche), on peut composer un carré magique 3 × 3 (carré de droite).