# 4505          25 octobre 2018

Pyramides d’ordre 3

Une pyramide numérique est un ensemble de nombres disposés dans les cases d'un tableau de forme triangulaire de telle manière que chaque nombre d'une rangée supérieure est égal à la somme des deux nombres inférieurs adjacents. À moins de spécifications contraires, on considère seulement les entiers positifs. Voici un exemple de pyramide :

Cette pyramide est dite d’ordre 3 car elle contient trois cases à la base et trois rangées horizontales.

1. Sommet de la pyramide

Proposition 1. Dans une pyramide d’ordre 3, le sommet S est obtenu en additionnant la somme des termes extrêmes de la base et le double du terme central.

Soit A, B et C les nombres de la base dans cet ordre. En complétant la configuration, on trouve que le sommet est A + 2B + C.

Bref, S = (A + C) + 2B.

Problème. Trouvez le nombre du sommet dans une pyramide d’ordre 3 quand la somme des termes de la base est 20 et quand le terme central est 4 et ce, sans trouver les nombres des cases intermédiaires.

Solution. La somme des termes extrêmes de la base est 16. On écrit : S = (A + C) + 2B = 16 + 2 × 4 = 24. Le sommet est 24. Voici un exemple de configuration :

2. Différence du sommet et de la base

Proposition 2. Dans une pyramide d’ordre 3, la différence du sommet S et du total T des termes de la base est égale au terme central de la base.

On fait : (A + 2B + C) – (A + B + C) = B.

Bref, S – T = B.

Problème. Configurez une pyramide d’ordre 3 lorsque le total des termes de la base est 15 et le sommet est 22.

Solution. On fait : 22 – 15 = 7. D’où, A + C = 8. Voici un exemple de configuration :

3. Somme des termes

Proposition 3. Dans une pyramide d’ordre 3, la somme Σ de tous les termes est obtenue en additionnant 3 fois la somme des termes extrêmes de la base et cinq fois le terme central.

Soit A, B, C les nombres de la base dans cet ordre. On remplit toutes les cases. En additionnant tous les termes, on obtient 3A + 5B + 3C.

Bref, Σ = 3(A + C) + 5B.

Problème. Trouvez une configuration où la somme de tous les termes est 58.

Solution. On pose : 3(A + C) + 5B = 58. C’est une équation du premier degré à deux inconnues. Il y a trois possibilités.

1) Si A + C = 6, alors B = 8

2) Si A + C = 11, alors B = 5

3) Si A + C = 16, alors B = 2

Voici une configuration à partir de la dernière possibilité :

Problème. Trouvez une configuration où la somme des termes est 69 et dont le sommet est 24.

Solution. On écrit :

Σ = 3(A + C) + 5B = 69

S = (A + C) + 2B = 24

On résout le système d’équations. On trouve que B = 3 et A + C = 18. Voici une configuration :

4. Variations du sommet

Proposition 4. Soit trois entiers différents à la base. Le sommet varie selon l’ordre de disposition des termes à la base.

1^er cas. Pour avoir le plus petit sommet, on place le plus petit entier dans la case centrale de la base et les deux autres dans les extrémités.

2^e cas. Pour avoir le plus grand sommet, on place le plus grand entier dans la case centrale de la base et les deux autres dans les extrémités.

5. Sommet avec des entiers consécutifs

Proposition 5. Dans une pyramide d’ordre 3, lorsque la base contient trois entiers consécutifs dans l’ordre, le sommet S est égal à quatre fois le terme central de la base.

À la base, on écrit successivement A, A + 1, A + 2. On remplit toutes les cases. Au sommet, on trouve 4A + 4.

Bref, S = 4(A + 1).

Voici un exemple de configuration dans lequel A = 5 :

6. Plus petit sommet avec des entiers consécutifs

Proposition 6. Dans une pyramide d’ordre 3 où A est le plus petit terme, lorsque la base contient des entiers consécutifs dans le désordre, le plus petit sommet est 4A + 3.

7. Plus grand sommet avec des entiers consécutifs

Proposition 7. Dans une pyramide d’ordre 3 où A est le plus petit terme, lorsque la base contient des entiers consécutifs dans le désordre, le plus grand sommet est 4A + 5.

Problème. Construisez une pyramide formée de trois entiers consécutifs dans le désordre à la base et dont le plus grand sommet est 65.

Solution. Soit A le plus petit terme, le plus grand sommet est 4A + 5. On écrit : 4A + 5 = 65. D’où, A = 15 et A + 2 = 17. Une configuration est :

Voici un tableau qui illustre certaines propositions lorsque la base contient des entiers consécutifs dans l’ordre ou dans le désordre :

8. Somme des termes avec des entiers consécutifs

Proposition 8. Dans une pyramide d’ordre 3, lorsque la base contient des entiers consécutifs dans l’ordre, la somme de tous les termes est égale à 11 fois le terme du centre.

D’après la proposition 3, Σ = 3(A + C) + 5B. À la base, on a successivement A, A + 1, A + 2. On peut écrire : Σ = 3(A + A + 2) + 5(A + 1) = 11A + 11.

Bref, Σ = 11(A + 1).

Par exemple, on suppose que A = 6. On peut écrire : Σ = 11(A + 1) = 77. Voici une configuration dans laquelle la somme de tous les termes est 77 :

# 4520          3 novembre 2018

Pyramides d’ordre 4

Une pyramide numérique est un ensemble de nombres disposés dans les cases d'un tableau de forme triangulaire, de telle manière que chaque nombre d'une rangée supérieure est égal à la somme des deux nombres inférieurs adjacents. À moins de spécifications contraires, on considère seulement les entiers positifs. Voici un exemple de pyramide :

Cette pyramide est dite d’ordre 4 car elle contient quatre cases à la base et quatre rangées horizontales.

1. Sommet de la pyramide

Proposition 1. Dans une pyramide d’ordre 4, le sommet S est obtenu en additionnant la somme des termes extrêmes de la base et le triple de la somme des deux termes centraux.

Soit A, B, C, D les nombres de la base dans cet ordre. En complétant la configuration, on trouve que le sommet est A + 3B + 3C + D.

Bref, S = (A + D) + 3(B + C).

Problème. Trouvez le nombre du sommet dans une pyramide d’ordre 4 quand la somme des termes de la base est 27 et que la somme des deux termes centraux est 12, sans trouver les nombres des cases intermédiaires.

Solution. La somme des deux termes extrêmes de la base est 15. On écrit : (A + D) + 3(B + C) = 15 + 3 × 12 = 51. Voici un exemple de configuration :

Pour avoir toujours le même sommet, il faut que la somme des termes extrêmes soit 15 et que la somme des deux termes centraux soit 12. Voici une autre configuration :

2. Différence du sommet et de la base

Proposition 2. Dans une pyramide d’ordre 4, la différence du sommet S et du total T de la base est égale à deux fois la somme des deux termes centraux de la base.

On fait : (A + 3B + 3C + D) – (A + B + C + D) = 2B + 2C.

Bref, S – T = 2(B + C).

Problème. Configurez une pyramide d’ordre 4 lorsque la somme des termes de la base est 15 et que le sommet est 27.

Solution. On applique la formule précédente. On fait : 27 – 15 = 2(B + C). D’où, B + C = 6. On commence alors par remplir les deux cases centrales de la base avec une somme de 6. Puis, on complète les deux autres cases avec une somme de 9. Voici un exemple de configuration :

3. Somme des termes

Proposition 3. Dans une pyramide d’ordre 4, la somme Σ de tous les termes est obtenue en additionnant 4 fois la somme des deux termes extrêmes de la base et 9 fois la somme des deux termes centraux.

Soit A, B, C, D les nombres de la base dans cet ordre. On remplit toutes les cases. En additionnant tous les termes, on obtient 4A + 9B + 9C + 4D.

Bref, Σ = 4(A + D) + 9(B + C).

Problème. Trouvez une configuration où la somme de tous les termes est 101.

Solution. On pose : 4(A + D) + 9(B + C) = 101. C’est une équation du premier degré à deux inconnues. Il y a deux possibilités.

1) Si A + D = 5, alors B + C = 9

2) Si A + D = 14, alors B + C = 5

Voici une configuration à partir de la deuxième possibilité :

Problème. Trouvez une configuration où la somme des termes est 100 et dont le sommet est 31.

Solution. On écrit :

4(A + D) + 9(B + C) = 100 (somme des termes)

(A + D) + 3(B + C) = 31 (sommet)

On résout le système d’équations. On trouve que A + D = 7 et que B + C = 8. Voici une configuration :

4. Variations du sommet

Proposition 4. Soit quatre entiers différents à la base. Le sommet varie selon l’ordre des termes à la base.

1^er cas. Pour avoir le plus petit sommet, on place les deux plus petits entiers dans les deux cases centrales et les deux autres dans les extrémités.

2^e cas. Pour avoir le plus grand sommet, on place les deux plus grands entiers dans les deux cases centrales et les deux autres dans les extrémités.

5. Sommet avec des entiers consécutifs

Proposition 5. Dans une pyramide d’ordre 4, lorsque la base contient quatre entiers consécutifs dans l’ordre, le sommet S est égal à quatre fois la somme du double du plus petit entier et de 3.

À la base, on écrit successivement A, A + 1, A + 2, A + 3. On remplit toutes les cases. Au sommet, on trouve 8A + 12 qui est égal à 4(2A + 3).

Bref, S = 4(2A + 3) où 2A + 3 est la somme des deux termes extrêmes ou des deux termes centraux.

Voici un exemple de configuration dans lequel A = 4 :

Démonstration. Montrez que, dans une pyramide d’ordre 4, lorsque la base contient quatre entiers consécutifs dans l’ordre, le sommet S est égal à deux fois le total T des termes de la base.

6. Plus petit sommet avec des entiers consécutifs

Proposition 6. Dans une pyramide d’ordre 4 où A est le plus petit terme, lorsque la base contient des entiers consécutifs dans le désordre, le plus petit sommet est 8(A + 1).

7. Plus grand sommet avec des entiers consécutifs

Proposition 7. Dans une pyramide d’ordre 4 où A est le plus petit terme, lorsque la base contient des entiers consécutifs dans le désordre, le plus grand sommet est 8(A + 2).

Problème. Construisez une pyramide formée de quatre entiers consécutifs dans le désordre à la base dont le plus grand sommet est 72.

Solution. Soit A le plus petit terme, le plus grand sommet est 8(A + 2). On écrit : 8(A + 2) = 72. D’où, A = 7. Une configuration est :

Voici un tableau qui illustre certaines propositions lorsque la base contient des entiers consécutifs dans l’ordre ou dans le désordre :

8. Somme des termes avec des entiers consécutifs

Proposition 8. Dans une pyramide d’ordre 4, lorsque la base contient des entiers consécutifs dans l’ordre, la somme de tous les termes est égale à 13 fois la somme du double du plus petit entier et de 3.

D’après la proposition 3, Σ = 4(A + D) + 9(B + C). À la base, on a successivement A, A + 1, A + 2, A + 3. On peut écrire : Σ = 4(A + A + 3) + 9(A + 1 + A + 2) = 26A + 39.

Bref, Σ = 13(2A + 3).

Par exemple, on suppose que A = 4. On peut écrire : Σ = 13(2A + 3) = 143. Voici une configuration dans laquelle la somme de tous les termes est 143 :

Démonstration. Montrez que, lorsque la base contient des entiers consécutifs dans l’ordre, la somme Σ de tous les termes est égale à 6,5 fois le total T des termes de la base.

# 4545          18 novembre 2018

Pyramides d’ordre 5

Une pyramide numérique est un ensemble de nombres disposés dans les cases d'un tableau de forme triangulaire de telle manière que chaque nombre d'une rangée supérieure est égal à la somme des deux nombres inférieurs adjacents. À moins de spécifications contraires, on considère seulement les entiers positifs. Voici un exemple de pyramide :

Cette pyramide est dite d’ordre 5 car elle contient cinq cases à la base et cinq rangées horizontales.

1. Sommet de la pyramide

Proposition 1. Dans une pyramide d’ordre 5, le sommet S est obtenu en additionnant la somme des termes extrêmes de la base, le quadruple de la somme des deux termes voisins et le sextuple du terme central.

Soit A, B, C, D, E les nombres de la base dans cet ordre. En complétant la configuration, on obtient comme sommet A + 4B + 6C + 4D + E.

Bref, S = (A + E) + 4(B + D) + 6C.

Problème 1. Quel est le sommet dans cette configuration ?

Solution. On peut écrire :

On voit que 2B + 9 = 15. D’où, B = 3. On procède de la même façon pour trouver la valeur de D. On écrit : 2D + 13 = 25. D’où, D = 6.

On remplace les lettres par leur valeur dans (A + E) + 4(B + D) + 6C. Le sommet est 74.

2. Différence du sommet et de la base

Proposition 2. Dans une pyramide d’ordre 5, la différence du sommet S et du total T de la base est obtenue en additionnant le triple de la somme des termes voisins des extrémités et le quintuple du terme central.

On fait : (A + 4B + 6C + 4D + E) – (A + B + C + D + E) = 3B + 5C + 3D.

Bref, S – T = 3(B + D) + 5C.

Problème. Configurez une pyramide d’ordre 5 lorsque la somme des termes de la base est 22 et le sommet est 67.

Solution. On fait : 67 – 22 = 3(B + D) + 5C. C’est une équation du premier degré à deux inconnues. Il y a deux possibilités.

1) Si C = 3, B + D = 10.

2) Si C = 6, B + D = 5.

Choisissons la dernière hypothèse. Comme la somme de la base est 22, A + E = 11. Avec ces données, on peut établir la configuration suivante.

3. Somme des termes

Proposition 3. Dans une pyramide d’ordre 5, la somme Σ de tous les termes est obtenue en additionnant 5 fois la somme des termes extrêmes de la base, 14 fois la somme des termes voisins des extrêmes et 19 fois le terme du milieu.

Soit A, B, C, D, E les nombres de la base dans cet ordre. On remplit toutes les cases. En additionnant tous les termes, on obtient Σ = 5A + 14B + 19C + 14D + 5E.  

Bref, Σ = 5(A + E) + 14(B + D) + 19C.

Problème. Trouvez une configuration dans laquelle la somme des termes est 271, A + E = 10 et B + D = 9.

Solution. Dans l’équation 5(A + E) + 14(B + D) + 19C = 271, on remplace (A + E) et (B + D) par leur valeur. On obtient : C = 5. Il existe plusieurs configurations. Pour en trouver une, il s’agit de donner des valeurs aux lettres dont les sommes sont données. La somme des termes sera toujours 271. Voici un exemple de configuration :

4. Variations du sommet

Proposition 4. Soit cinq entiers différents à la base. Le sommet varie selon l’ordre de disposition des termes à la base.

1^er cas. Pour avoir le plus petit sommet, on place le plus petit entier dans la case centrale, les deux entiers suivants dans les cases adjacentes et les deux derniers entiers dans les extrémités.

2^e cas. Pour avoir le plus grand sommet, on place le plus grand entier dans la case centrale, les deux entiers suivants dans les cases adjacentes et les deux derniers entiers dans les extrémités.

5. Sommet avec des entiers consécutifs

Proposition 5. Dans une pyramide d’ordre 5, lorsque la base contient des entiers consécutifs dans l’ordre, le sommet S est égal à 16 fois la somme du plus petit terme et de 2.

À la base, on écrit successivement A, A + 1, A + 2, A + 3, A + 4. On remplit toutes les cases. Au sommet, on trouve 16A + 32.

Bref, S = 16(A + 2).

6. Plus petit sommet avec des entiers consécutifs

Proposition 6. Dans une pyramide d’ordre 5 où A est le plus petit terme, lorsque la base contient des entiers consécutifs dans le désordre, le plus petit sommet est (16A + 19).

7. Plus grand sommet avec des entiers consécutifs

Proposition 7. Dans une pyramide d’ordre 5 où A est le plus petit terme, lorsque la base contient des entiers consécutifs dans le désordre, le plus grand sommet est (16A + 45).

Le tableau suivant illustre les dernières propositions.

Problème. Trouvez une configuration dans laquelle on place à la base cinq entiers consécutifs, mais pas nécessairement dans l’ordre et dans laquelle le sommet est 95.

Solution. En se basant sur la proposition 6, on fait : 16A + 19 = 95. D’où, A = 4,75. Si A = 4, le plus petit sommet est 83 et le plus grand est 109. Les termes de la base sont 4, 5, 6, 7 et 8. D’où, la somme des termes de la base est 30. On écrit :

A + 4B + 6C + 4D + E = 95

A + B + C + D + E = 30

En soustrayant les deux équations, on obtient 3B + 5C + 3D = 65, soit 3(B + D) + 5C = 65.

La plus petite valeur possible de C est 4. Si C = 4, alors B + D = 15. On place 4 au centre. La combinaison de deux nombres dont la somme est 15 est (7, 8). On place 7 et 8 autour du centre, puis on complète avec 5 et 6 dans les extrémités. On peut obtenir le tableau suivant.

8. Somme des termes avec des entiers consécutifs

Proposition 8. Dans une pyramide d’ordre 5, lorsque la base contient des entiers consécutifs dans l’ordre, la somme de tous les termes est égale à 57 fois la somme du plus petit entier et de 2.

D’après la proposition 3, Σ = 5(A + E) + 14(B + D) + 19C. À la base, on a successivement A, A + 1, A + 2, A + 3, A + 4. On peut écrire : Σ = 5(A + A + 4) + 14(A + 1 + A + 3) + 19(A + 2) = 57A + 114.

Bref, Σ = 57(A + 2).

# 4565          30 novembre 2018

Pyramides d’ordre 6

Une pyramide numérique est un ensemble de nombres disposés dans les cases d'un tableau de forme triangulaire, de telle manière que chaque nombre d'une rangée supérieure est égal à la somme des deux nombres inférieurs adjacents. À moins de spécifications contraires, on considère seulement les entiers positifs. Voici un exemple de pyramide :

Cette pyramide est dite d’ordre 6 car elle contient six cases à la base et six rangées horizontales.

1. Sommet de la pyramide

Proposition 1. Dans une pyramide d’ordre 6, le sommet S est obtenu en additionnant la somme des termes extrêmes de la base, cinq fois la somme des deux termes voisins des extrémités et 10 fois la somme des deux termes centraux.

Soit A, B, C, D, E, F les nombres de la base dans cet ordre. En complétant la configuration, on trouve que le sommet est A + 5B + 10C + 10D + 5E + F.

Bref, S = (A + F) + 5(B + E) + 10(C + D).

Appliquons cette formule, pour vérifier le sommet dans la figure précédente. On a : (2 + 7) + 5(5 + 3) + 10(4 + 1) = 9 + 40 + 50 = 99. Le sommet est bien 99.

Problème. Dans cette configuration, trouvez le sommet sans faire tous les calculs intermédiaires.

Solution. On commence par trouver les entiers manquants de la base. On recherche la valeur de B en construisant ce tableau.

Comme 2B + 9 = 21, alors B = 6. En procédant de la même façon, on trouve que D = 1.

Le sommet est (A + F) + 5(B + E) + 10(C + D). On applique cette formule : (7 + 9) + 5(6 + 4) + 10(2 + 1) = 16 + 50 + 30 = 96. Voici la configuration :

2. Différence du sommet et de la base

Proposition 2. Dans une pyramide d’ordre 6, la différence du sommet S et du total T de la base est obtenue en additionnant quatre fois la somme des termes voisins des extrémités de la base et neuf fois la somme des termes centraux.

On fait (A + 5B + 10C + 10D + 5E + F) – (A + B + C + D + E) = 4B + 9C + 9D + 4E.

Bref, S – T = 4(B + E) + 9(C + D).

3. Somme des termes

Proposition 3. Dans une pyramide d’ordre 6, la somme Σ de tous les termes est obtenue en additionnant 6 fois la somme des termes extrêmes de la base, 20 fois la somme des termes voisins des extrêmes et 34 fois la somme des deux termes du milieu.

Soit A, B, C, D, E, F les nombres de la base dans cet ordre. On remplit toutes les cases. En additionnant tous les termes, on obtient 6A + 20B + 34C + 34D + 20E + 6F.

Bref, Σ = 6(A + F) + 20(B + E) + 34(C + D).

Problème. Sans faire toutes les additions au long, trouvez la somme de tous les termes de la pyramide du point 1.

Solution. On fait : 6(7 + 9) + 20(6 + 4) + 34(2 + 1) = 96 + 200 + 102 = 398.

Problème. Complétez la configuration suivante pour que la somme de tous les termes soit 348.

Solution. Dans l’équation : 6(A + F) + 20(B + E) + 34(C + D) = 348, on remplace (B + E) et (C + D) par leur valeur. On obtient : A + F = 13. Il existe plusieurs configurations. Pour en trouver une, il s’agit de donner des valeurs arbitraires à A et à F où A + F = 13. La somme des termes sera toujours 348. Voici un exemple de configuration :

4. Variations du sommet

Proposition 4. Soit six entiers différents à la base. Le sommet varie selon l’ordre de disposition des termes à la base.

1^er cas. Pour avoir le plus petit sommet, on place les deux plus petits entiers dans les deux cases centrales, les deux entiers suivants dans les cases adjacentes et les deux derniers entiers dans les extrémités.

2^e cas. Pour avoir le plus grand sommet, on place les deux plus grands entiers dans les deux cases centrales, les deux entiers suivants dans les cases adjacentes et les deux derniers entiers dans les extrémités.

5. Sommet avec des entiers consécutifs

Proposition 5. Dans une pyramide d’ordre 6, lorsque la base contient six entiers consécutifs dans l’ordre, le sommet S est égal à 16 fois la somme du double du plus petit et de 5.

À la base, on écrit dans l’ordre A, A + 1, A + 2, A + 3, A + 4, A + 5. On remplit toutes les cases. Au sommet, on trouve 32A + 60.

Bref, S = 16(2A + 5). Par exemple, si A = 3, alors S = 176.

6. Plus petit sommet avec des entiers consécutifs

Proposition 6. Dans une pyramide d’ordre 6 où A est le plus petit terme, lorsque la base contient des entiers consécutifs dans le désordre, le plus petit sommet est 4(8A + 11).

7. Plus grand sommet avec des entiers consécutifs

Proposition 7. Dans une pyramide d’ordre 6 où A est le plus petit terme, lorsque la base contient des entiers consécutifs dans le désordre, le plus grand sommet est 4(8A + 29).

8. Somme des termes avec des entiers consécutifs

Proposition 8. Dans une pyramide d’ordre 6, lorsque la base contient des entiers consécutifs dans l’ordre, la somme de tous les termes est égale à 16 fois la somme du double du plus petit et de 5.

D’après la proposition 3, Σ = 6(A + F) + 20(B + E) + 34(C + D). À la base, on a successivement A, A + 1, A + 2, A + 3, A + 4, A + 5. On peut écrire : Σ = 6(A + A + 5) + 20(A + 1 + A + 4) + 34(A + 2 + A + 3) = 120A + 300.

Bref, Σ = 60(2A + 5).

# 4480          10 octobre 2018

Un triangle magique

Sur les côtés de ce triangle, on doit placer les nombres de 1 à 9 dans les cases jaunes pour que la somme soit identique sur chacun des côtés.

Les sommes possibles des côtés varient de 17 à 23. En effet, la somme des nombres de 1 à 9 est 45. Les nombres sur chacun des sommets doivent être comptés deux fois pour établir la somme. Les plus petits éléments aux sommets sont possiblement 1, 2 et 3, soit une somme de 6. On fait : 45 + 6 = 51 et 51 ÷ 3 = 17. La plus petite somme possible sur les côtés est 17.

Les plus grands éléments aux sommets sont possiblement 7, 8 et 9, soit une somme de 24. On fait : 45 + 24 = 69 et 69 ÷ 3 = 23. La plus grande somme possible sur les côtés est 23.

Faisons l’étude de quelques cas afin de trouver des solutions.

1. Une somme de 17

On place 1, 2 et 3 dans les sommets. Les couples (1, 3), (3, 2) et (2, 1) se retrouvent respectivement chacun sur un côté. Le manque sur chaque côté est de 13, 12 et 14. Cela correspond aux paires (6, 7), (4, 8) et (5, 9). On remplit la figure avec ces données.

Une deuxième solution peut être trouvée.

2. Une somme de 18

La somme des sommets devra être 9. Il y a trois possibilités pour les sommets : (1, 2, 6), (1, 3, 5), (2, 3, 4).

a) La possibilité est (1, 2, 6)

Il manque sur les côtés 15, 10 et 11. Les nombres qui restent sont : 3, 4, 5, 7, 8, 9. On ne peut pas former tous les couples. Il n’y a pas de solution dans ce cas.

b) La possibilité est (1, 3, 5)

Il manque sur les côtés 14, 10 et 12. Les nombres qui restent sont : 2, 4, 6, 7, 8, 9. On ne peut pas former tous les couples. Il n’y a pas de solution dans ce cas.

c) La possibilité est (2, 3, 4)

Il manque sur les côtés 13, 11 et 12. Les nombres qui restent sont : 1, 5, 6, 7, 8, 9. On ne peut pas former tous les couples. Il n’y a pas de solution dans ce cas.

3. Une somme de 19

La somme des sommets doit être 12. Il y a sept possibilités pour les sommets : (1, 2, 9), (1, 3, 8), (1, 4, 7), (1, 5, 6), (2, 3, 7), (2, 4, 6) et (3, 4, 5). Il y a deux solutions lorsque les sommets sont 1, 4 et 7.

Nous vous laissons le soin de trouver d’autres solutions.

4. Une somme de 20

Nous vous donnons une solution quand les sommets sont 3, 5 et 7.

5. Une somme de 21

La somme des sommets doit être 18. On a le même nombre de solutions que pour la somme 19. Pour les trouver, de 10, on soustrait chacun des éléments. On appelle cela une figure complémentaire. Voici le triangle complémentaire de la première solution de la somme 19 :

6. Une somme de 22

La somme des sommets doit être 21. Comme il n’y a pas de solution pour la somme 18, il n’y en a pas pour la somme 22.

7. Une somme de 23

La somme sur les sommets doit être 24. On a le même nombre de solutions que pour la somme 17. Pour les trouver, de 10, on soustrait chacun des éléments. Voici le triangle complémentaire de la première solution de la somme 17 :

Vous pouvez trouver d’autres solutions.

Problème 1. On décide de placer les nombres impairs de 1 à 17. Combien y a-t-il de sommes possibles ?

Problème 2. On décide de placer les nombres de la suite 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25. Trouvez au moins une configuration.

# 4450          22 septembre 2018

Des carrés à profusion

Dans cet article, nous allons indiquer un procédé pour trouver des identités de carrés à partir d’un tableau.

On commence par établir la somme de deux carrés dont la somme des bases est un nombre donné. Par exemple, on choisit 21 comme somme des bases.

On recherche une identité dans laquelle les sommes du tableau apparaissent. Par exemple, on peut écrire : 401 + 245 = 365 + 281 = 646.

On remplace chaque nombre par sa valeur puisée dans le tableau, soit la somme de deux carrés :

1² + 20² + 7² + 14² = 2² + 19² + 5² + 16² = 646

On remet les termes de l’identité en ordre :

1² + 7² + 14² + 20² = 2² + 5² + 16² + 19² (A)

Les identités continuent d’exister dans les cas suivants.

• Lorsqu’on biffe l’exposant dans l’identité A. On a :

1 + 7 + 14 + 20 = 2 + 5 + 16 + 19 = 42

• Lorsque l’exposant est 3 au lieu de 2 dans l’identité A. On a :

1³ + 7³ + 14³ + 20³ = 2³ + 5³ + 16³ + 19³ = 11 088 (B)

• Lorsqu’on additionne un nombre à chaque terme de l’identité A. Voici un exemple où on additionne 1 :

2² + 8² + 15² + 21² = 3² + 6² + 17² + 20² = 734

• Lorsqu’on additionne un nombre à chaque terme de l’identité B. Voici un exemple où on additionne 2 :

3³ + 9³ + 16³ + 22³ = 4³ + 7³ + 18³ + 21³ = 15 500

On peut aussi trouver des identités avec les nombres polygonaux (triangulaire, pentagonal, hexagonal, heptagonal, etc.). Soit ∆ l’exposant d’un nombre triangulaire tel que 9^∆ = 45. On peut lire : le triangulaire de 9 est 45. Voici un exemple avec les triangulaires où dans l’identité A on remplace l’exposant 2 par l’exposant ∆ :

1^∆ + 7^∆ + 14^∆ + 20^∆ = 2^∆ + 5^∆ + 16^∆ + 19^∆

1 + 28 + 105 + 210 = 3 + 15 + 136 + 190 = 344

 Voici un exemple avec les pentagonaux où on admet que l’exposant est p :

1^p + 7^p + 14^p + 20^p = 2^p + 5^p + 16^p + 19^p

1 + 70 + 287 + 590 = 5 + 35 + 376 + 532 = 948

Problème. Dans le tableau suivant, la somme des bases est 18 :

a) Trouvez une identité comportant six nombres dont les trois nombres du premier membre sont 180, 194 et 290.

b) Trouvez une identité de sommes de carrés à partir de ces nombres.

c) Vérifiez si l’identité demeure vraie quand on élève les termes au cube.

Bref, le procédé peut produire un nombre incalculable d’identités. En même temps, il est relativement facile à appliquer.

……………………….

Solutions.

a) On peut écrire : 290 + 194 + 180 = 260 + 234 + 170 = 664

b) 1² + 17² + 5² + 13² + 6² + 12² = 2² + 16² + 3² + 15² + 7² + 11² = 664

L’identité en ordre est :

1² + 5² + 6² + 12² + 13² + 17² = 2² + 3² + 7² + 11² + 15²+ 16² = 664

c) L’identité demeure vraie quand on élève au cube.

1³ + 5³ + 6³ + 12³ + 13³ + 17³ = 2³ + 3³ + 7³ + 11³ + 15³+ 16³ = 9180

# 4430          10 septembre 2018

Élucubrations sur huit chiffres

Nous allons étudier six situations où on compose quatre nombres de deux chiffres avec les chiffres de 1 à 8 pris chacun une seule fois.

Problème 1. Trouvez la plus petite somme.

Solution. On écrit les plus petits chiffres dans la colonne des dizaines et les autres dans celle des unités. L’ordre dans lequel les chiffres sont placés dans une colonne n’a pas d’importance.

On a : 15 + 26 + 37 + 48 = 126. La plus petite somme est 126.

Problème 2. Trouvez la plus grande somme.

Solution. On intervertit les chiffres de chaque colonne du tableau précédent. On a : 51 + 62 + 73 + 84 = 270. La plus grande somme est 270.

Problème 3. Tous les nombres entre 126 et 270 peuvent-ils être des sommes ?

Solution. Non. La somme des chiffres de 1 à 8 est 36, un multiple de 9. Or, dans une addition, si la somme des chiffres est un multiple de 9, le résultat est un multiple de 9. En conséquence, des sommes comme 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134 ne sont pas possibles. La somme qui suit 126 est 135. Voici un exemple de disposition des chiffres :

Cela donne : 18 + 36 + 24 + 57 = 135.

Problème 4. Combien y a-t-il de sommes possibles ?

Solution. Les sommes appartiennent à la suite 126, 135, 144, …, 261, 270. Pour trouver le nombre de sommes, on procède ainsi :

• On établit la différence entre la plus grande et la plus petite somme.

• On divise par 9.

• On additionne 1.

On fait : (270 – 126)/9 + 1 = 17. Il y a 17 sommes possibles.

Problème 5. Comment trouver la nouvelle somme si on remplace un chiffre d’une colonne par un chiffre d’une autre colonne sans faire à nouveau la somme des quatre nombres ?

Solution. Intervertissons le 1 et le 4 du tableau précédent. La dizaine passe de 1 à 4. Il y a augmentation de 30. L’unité passe de 4 à 1. Il y a diminution de 3. Cela fait, au total, une augmentation de 27. Sachant que la somme du tableau est 135, on fait : 135 + 27 = 162. La nouvelle somme est 162. Si le déplacement de chiffres amène une diminution, on soustrait au lieu d’additionner.

Pour calculer l’augmentation ou la diminution, on peut procéder autrement.

• On soustrait les deux chiffres déplacés.

• On multiplie par 9.

Dans le cas où l’unité passe de 4 à 1, on fait : 4 – 1 = 3 et 3 × 9 = 27.

Autre astuce. On peut tout simplement former deux nombres avec les chiffres donnés et soustraire ces deux nombres. On fait : 41 – 14 = 27.

Problème 6. Trouvez quatre nombres de deux chiffres (1 à 8) dont la somme est 225.

Solution. On commence par les unités.

• La somme des unités ne peut pas être 5, car la plus petite somme de quatre chiffres est 10 : 1 + 2 + 3 + 4.

• La somme des unités peut être 15. Dans ce cas, la somme des dizaines est 21, car la somme de tous les chiffres est 36. La somme des quatre nombres est alors 225, car 210 + 15 = 225. On pourra avoir comme solution : 31 + 52 + 64 + 78.

• La somme des unités peut être 25. Dans ce cas, la somme des dizaines est 11, car la somme de tous les chiffres est 36. La somme des quatre nombres est alors 135, car 110 + 25 = 135. La somme n’est pas 225.

• La somme des unités ne peut pas être 35, car la plus grande somme de quatre chiffres est 26 : 5 + 6 + 7 + 8.

Appliquez vos connaissances en résolvant les quatre problèmes suivants.

Problème 7. Trouvez quatre nombres de deux chiffres (1 à 8) dont la somme est 171.

Problème 8. Trouvez quatre nombres de deux chiffres (1 à 8) dont la somme est 207.

Problème 9. Trouvez deux nombres de quatre chiffres (1 à 8) dont la somme est 6543.

Problème 10. Trouvez trois nombres de deux chiffres (1 à 6) dont la somme est 102.

# 4410          19 juin 2018

Calendrier découpé

À première vue, on ne voit pas de lien entre le calendrier et les carrés. Pourtant, il est possible de trouver des égalités de sommes de carrés à partir du calendrier.

Commençons par délimiter une grille carrée 3 × 3 comme ci-après dans une feuille de calendrier.

1. On peut obtenir une égalité respectivement de sommes de trois carrés en prenant, dans la grille ci-après, les nombres dont les cases sont bleues d’une part et rouges d’autre part. On élève au carré chacun de ces nombres.

On peut écrire : 3² + 12² + 18² = 4² + 10² + 19² = 477. On constate que seuls les nombres de la diagonale de droite ne sont pas utilisés. De plus, 3 + 12 + 18 = 4 + 10 + 19 = 33.

2. Voici un autre cas :

On peut écrire : 4² + 12² + 17² = 5² + 10² + 18² = 449. On constate que seuls les nombres de la diagonale de gauche ne sont pas utilisés. De plus, 4 + 12 + 17 = 5 + 10 + 18 = 33.

3. On peut obtenir une égalité respectivement de sommes de quatre carrés illustrés selon les couleurs. Les nombres soulignés apparaissent deux fois dans le même membre de l’égalité :

On peut écrire : 3² + 5² + 11² + 11² = 4² + 4² + 10² + 12² = 276. On constate que seuls les nombres de la troisième ligne ne sont pas utilisés. De plus, 3 + 5 + 11 + 11 = 4 + 4 + 10 + 12 = 30.